Enunciado

58. Encontre os valores de λ para os quais y = e λ x satisfaz a equação y + y ' = y ' ' .

Passo 1

Nessa questão a gente precisa achar os valores de λ para que a igualdade seja verdadeira, então vamos descobrir quanto vale y ' ' e y ' para substituir na equação:

y ' = d d x e λ x  

Pela regra da cadeia:

y ' = e λ x ⋅ d d x λ x

y ' = λ e r x

Beleza, agora vamos derivar mais uma vez para descobrirmos o valor de y ' ' :

y ' ' = d d x λ e λ x

Novamente, utilizando a regra da cadeia:

y ' ' = λ e r x ⋅ d d x λ x

y ' ' = λ 2 e λ x

Passo 2

Pronto, agora temos tudo o que precisamos para substituir na equação do enunciado:

y + y ' = y ' '

e λ x + λ e λ x = λ 2 e λ x

Isolando e r x :

e λ x + λ e λ x - λ 2 e λ x = 0

- λ 2 + λ + 1 e λ x = 0

Então para essa igualdade ser verdadeira:

- λ 2 + λ + 1 = 0

Resolvendo a equação do segudo grau vamos obter que

λ = 1 ± 5 2

Resposta

λ = 1 ± 5 2

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