Enunciado

Encontre a derivada da função.

y = x e - x 2

Passo 1

Fala aí, tudo certinho com você?

Bom, essa questão é bem direta ao ponto. Ela dá pra gente a função:

y = x e - x 2

E pede pra gente encontrar a sua derivada.

A ideai para resolver questões dessas é analisar qual o tipo de função nós temos, e assim saber quais as regras de derivação devemos usar. Então faremos isso aqui. Ok?

Observe que essa função é formada por um produto entre duas funções diferentes.

Podemos pensar dessa forma, sendo:

f x = x

g x = e - x 2

Assim, nossa função se torna:

y = f x ⋅ g x

Sendo assim, a regra que deve ser usada para fazer essa derivação é a regra do produto.

Quando temos o produto entre duas funções a regra é essa aqui:

f ⋅ g ' = f ' g + f g '

Perceba que cada parcela é formada pelo produto entre as duas funções, sendo que em cada um deles uma delas ganhará a derivação.

Mas ainda temos um detalhe importante para observar. A parte que chamamos de g x é uma função composta. Observe:

g x = e - x 2

Ela pode ser vista como

g u = e u

Onde u = - x 2

Ou seja, temos uma função dentro da outra. E para casos desse tipo, precisaremos usar a regra da cadeia. Que é essa aqui:

g ' u = g ' ⋅ u '

E precisaremos dela para resolver tudo.

Agora que sabemos que regra usar, basta fazer a substituição de cada item na fórmula.

Então, partiu aplicar essa regra juntinho comigo.

Passo 2

O que precisamos fazer é derivar a função dada por:

y = x e - x 2

Ou seja, faremos:

y ' = x e - x 2 '

Como a função é um produto, vamos ter:

f x = x

g x = e - x 2

Como precisaremos das derivadas, fazemos:

f ' x = x ' = 1

E para g ' ( x ) usaremos a regra da cadeia. Assim:

g ' x = e - x 2 ' = e - x 2 x 2 '

g ' x = e - x 2 ' = e - x 2 ⋅ 2 x

Agora que já temos tudo que precisávamos, basta juntar cada pedacinho na regra do produto.

Passo 3

Assim, nossa derivada se torna:

y ' = x ' e - x 2 + x e - x 2 '

E substituindo, teremos:

y ' = e - x 2 + x e - x 2 ⋅ 2 x

Organizando um pouco melhor nossa resposta, teremos:

y ' = e - x 2 + 2 x 2 e - x 2

E prontinho. Derivada com sucesso!

Resposta

y ' = e - x 2 + 2 x 2 e - x 2

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