Enunciado

Calcule o limite, se existir.

lim h → 0 ⁡ 1 + h 4 - 1 h

Passo 1

Opa bora lá! Temos que calcular:

lim h → 0 ⁡ 1 + h 4 - 1 h

E a primeira coisa que devemos fazer para calcular um limite é substituir a variável diretamente na função, mas no caso desse nosso limite, cairemos em uma indeterminação. Veja:

lim h → 0 ⁡ 1 + h 4 - 1 h = 1 + 0 4 - 1 0

= 1 - 1 0 = 0 0

Bom, então teremos que mudar nossa estratégia. Uma forma de fazer isso é reescrever essa função de uma maneira mais simplificada para fugirmos da indeterminação. Faremos isso fatorando e simplificando a expressão. Beleza?

Vem que te mostro tudinho no passo a passo.

Passo 2

A ideia aqui é reescrever a função

1 + h 4 - 1 h

De modo simplificado, e para isso podemos usar a expansão do binômio de Newton:

a + b 4 = a 4 + 4 a 3 b + 6 a 2 b 2 + 4 a b 3 + b 4

Para o nosso caso temos a = 1   e   b = h . Assim:

1 + h 4 = 1 + 4 h + 6 h 2 + 4 h 3 + h 4

Passo 3

Substituindo isso em nossa função, ficamos com:

lim h → 0 ⁡ 1 + 4 h + 6 h 2 + 4 h 3 + h 4 - 1 h

Podemos cortar o 1 com o - 1 , e teremos:

lim h → 0 ⁡ 4 h + 6 h 2 + 4 h 3 + h 4 h

Agora podemos deixar o h em evidência:

lim h → 0 ⁡ h 4 + 6 h 1 + 4 h 2 + h 3 h

E cortar h . Assim, nosso limite se torna

lim h → 0 ⁡ 4 + 6 h + 4 h 2 + h 3

Show de bola.

Passo 4

Como todas a manipulações feitas, nosso limite se tornou:

lim h → 0 ⁡ 4 + 6 h + 4 h 2 + h 3

Agora vamos tentar calcular esse limite novamente substituindo diretamente o h por 0 . Assim:

lim h → 0 ⁡ 4 + 6 h + 4 h 2 + h 3 = 4 + 6 ⋅ 0 + 4   ⋅ 0 2 + 0 3

O que nos dá:

lim h → 0 ⁡ 4 + 6 h + 4 h 2 + h 3 = 4

Prontinho!

Limite calculado.

Resposta

lim h → 0 ⁡ 1 + h 4 - 1 h = 4

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Seja f definida R e seja p um real dado. Suponha que lim x → p ⁡ f x - f p x - p = L . Calcule lim h → 0 ⁡ f p + h - f p - h h