Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.3 - Ex. 32
Encontre os valores de para os quais a série é convergente.
Passo 1
Show de bola, galera. Partiu aplicar o Teste da Integral para determinarmos esses valores de que tornam a série convergente?
Em primeiro lugar, vamos associar o termo geral da nossa série com uma função da seguinte forma:
Para isso, vamos calcular a seguinte integral imprópria:
Bom, para resolvermos essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes com e :
Retornando à nossa integral imprópria:
Para o limite acima não tender para o infinito, precisamos testar apenas o caso em que (pois nesse caso chegamos numa inconsistência do tipo em que devemos manipular algebricamente para aplicarmos L’Hopital). Vamos pegar esse caso, então:
Vamos focar só no limite e reescrevê-lo da seguinte forma:
Ufa!!! Quantas manipulações algébricas! Mas agora foi!
Logo, já sabemos o critério para a convergência da nossa série: