Enunciado

Encontre os valores de p para os quais a série é convergente.

∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n p

Passo 1

Show de bola, galera. Partiu aplicar o Teste da Integral para determinarmos esses valores de p que tornam a série convergente?

Em primeiro lugar, vamos associar o termo geral a n da nossa série com uma função f ( x ) da seguinte forma:

a n = ln ⁡ n n p ↔ f x = ln ⁡ x x p

Para isso, vamos calcular a seguinte integral imprópria:

∫ 1 ∞ f ( x ) d x = ∫ 1 ∞ ln ⁡ x x p d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t ln ⁡ x x p d x

Bom, para resolvermos essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes com u = ln ⁡ x e d v = 1 x p ∴ v = ln ⁡ x s e   p = 1 x 1 - p 1 - p s e   p ≠ 1 :

∫ ln ⁡ x x p d x = ln ⁡ x ⏟ u ∙ ln ⁡ x ⏟ v - ∫ ln ⁡ x x d x ⏟ v d u ⏞ A   m e s m a   i n t e g r a l s e   p = 1 ln ⁡ x ⏟ u ∙ x 1 - p 1 - p ⏟ v - ∫ x - p 1 - p d x ⏟ v d u s e   p ≠ 1 …

… 2 ∫ ln ⁡ x x p d x = ln ⁡ x 2 s e   p = 1 ∫ ln ⁡ x x p d x = x 1 - p 1 - p ln ⁡ x - 1 1 - p s e   p ≠ 1 …

… ∫ ln ⁡ x x p d x = ln ⁡ x 2 2 s e   p = 1 x 1 - p 1 - p ln ⁡ x - 1 1 - p s e   p ≠ 1

Retornando à nossa integral imprópria:

lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t ln ⁡ x x p d x = lim t → ∞ ⁡ ln ⁡ x 2 2 s e   p = 1 x 1 - p 1 - p ln ⁡ x - 1 1 - p s e   p ≠ 1 1 t =

= lim t → ∞ ⁡ ln ⁡ t 2 2 s e   p = 1 t 1 - p 1 - p ⏟ → ∞ s e   p < 1 → 0 s e   p > 1 ln ⁡ t - 1 1 - p ⏟ → ∞ + 1 1 - p 2 s e   p ≠ 1

Para o limite acima não tender para o infinito, precisamos testar apenas o caso em que p > 1 (pois nesse caso chegamos numa inconsistência do tipo 0 ∙ ∞ em que devemos manipular algebricamente para aplicarmos L’Hopital). Vamos pegar esse caso, então:

lim t → ∞ ⁡ t 1 - p 1 - p ∙ ln ⁡ t - 1 1 - p + 1 1 - p 2 p > 1

Vamos focar só no limite e reescrevê-lo da seguinte forma:

1 1 - p lim t → ∞ ⁡ ln ⁡ t - 1 1 - p t p - 1 →     L ' H o p i t a l   ∞ ∞     1 1 - p lim t → ∞ ⁡ 1 / t p - 1 t p = 1 1 - p 2 lim t → ∞ ⁡ 1 t p + 1 = 0

Ufa!!! Quantas manipulações algébricas! Mas agora foi!

Logo, já sabemos o critério para a convergência da nossa série:

p > 1 → ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n p   c o n v e r g e p ≤ 1 → ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n p   d i v e r g e

Resposta

∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n p   é convergente para   p > 1

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