Resolva as equações diferenciais

(dp/dt) = t^2 * p - p + t^2 - 1

Passo 1

Esse é um dos meus métodos favoritos para resolver equações diferenciais. É um dos mais rápidos. Se você não está acostumado fica tranquilo, vou fazer passo – a – passo para você ver. Temos então:

d p d t = t 2 p - p + t 2 - 1

O que vamos fazer agora é separar as variáveis. Tudo que for p vai para um lado, tudo que for t vai para o outro.

d p d t = t 2 p - p + t 2 - 1

d p d t = t 2 p + 1 - p + 1

d p d t = p + 1 t 2 - 1

d p p + 1 = t 2 - 1 d t

Dica importante. Tente arrumar as equações de forma que fique mais fácil ver as primitivas. Se facilite o máximo possível. Pode usar a imaginação e manipular as equações conforme for do seu gosto ; )

Passo 2

Agora vamos integral dos dois lados

∫ d p p + 1 = ∫ t 2 - 1 d t

ln ⁡ p + 1 = t 3 3 - t

Podemos manipular um pouco essa equação pra ela ficar mais organizada

p + 1 = e t 3 3   -   t

p =   e t 3 3   -   t - 1 + C

Estamos fazendo integrais indefinidas, então temos que adicionar uma constante qualquer C. Mas essa constante é completamente arbitraria. Então se somar -1 não fará a menor diferença, então podemos dizer que :

p =   e t 3 3   -   t + C

Então terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

p =   e t 3 3   -   t + C

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