Enunciado

Encontre equações paramétricas para a trajetória de uma partícula que se move ao longo do círculo

x 2 + y - 1 2 = 4

Três vezes no sentido anti-horádio, a partir de ( 2,1 ) .

Passo 1

Vamos primeiramente parametrizar a circunferência:

x t = x 0 + r cos ⁡ t = 0 + 2 cos ⁡ t

y t = y 0 + r sen ⁡ t = 1 + 2 sen ⁡ t

t ∈ 0 ,   2 π

Passo 2

Agora vamos identificar em que tempo t 0 a partícula inicia sua trajetória. Temos

x t 0 ,   y t 0 = 2,1

2 cos ⁡ t 0 , 1 + 2 sen ⁡ t = 2,1

Então

2 cos ⁡ t 0 = 2 1 + 2 sen ⁡ t 0 = 1 ⇒ t 0 = 0

Passo 3

Agora vejamos em que intervalo varia o parâmetro t .

A partícula dá três volta, logo, faz três rotações de 2 π . Como ela começa a trajetória dela em t 0 = 0 , tá tudo certo, ela vai andar de 0 até 3 × 2 π .

Assim,

t ∈ 0 , 6 π

Passo 4

Agora temos que ver a questão do sentido de rotação.

Ela tá girando no sentido anti-horário. Isso significa que não temos que mudar o sinal da parametrização. Assim, a parametrização fica:

x = 2 cos ⁡ t y = 1 + 2 sen ⁡ t ,   t ∈ 0 , 6 π

Resposta

x = 2 cos ⁡ t y = 1 + 2 sen ⁡ t ,   t ∈ 0,6 π

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