Enunciado

Encontre os valores de a e b que tornam a função f contínua em toda a parte.

f x = x 2 - 4 x - 2         s e   x < 2 a x 2 - b x + 3       s e   2 < x < 3 2 x - a + b         s e   x ≥ 3 .

Passo 1

Opa, bora resolver essa questão! Aqui temos uma função que é definida por 3 condições:

f x = x 2 - 4 x - 2         s e   x < 2 a x 2 - b x + 3       s e   2 < x < 3 2 x - a + b         s e   x ≥ 3

Como queremos os valores de a e b para que esta função seja contínua em toda a parte, precisamos verificar algumas coisas:

Os limites laterais, no valor de x que a função muda, precisam ser iguais pra função ser contínua. Além de que o limite da função no ponto analisado precisa ser igual a função no ponto analisado.

Vai ficar mais fácil de visualizar conforme a gente for fazendo!

Passo 2

Podemos começar pensando que uma das necessidades para esta função ser contínua é:

lim x → 2 ⁡ f x = f 2

Assim, analisaremos as funções que atuam pela esquerda ( x um pouco menor) e pela a direita ( x um pouco maior) de x = 2 . Vamos começar a verificação, para isso usaremos a função

f x = x 2 - 4 x - 2

para calcular o limite lateral a esquerda.

Então:

lim x → 2 - ⁡ x 2 - 4 x - 2

Fatorando:

lim x → 2 - ⁡ x + 2 x - 2 x - 2

Agora simplificando:

= lim x → 2 - ⁡ x + 2 = 2 + 2 = 4

O limite pelo lado direito de x = 2 deve ser o mesmo. Então:

lim x → 2 + ⁡ a x 2 - b x + 3 = 4

4 a - 2 b + 3 = 4

Sendo assim, temos essa primeira condição pra que os dois limites sejam iguais:

4 a - 2 b = 1     ( i )

Ainda não podemos calcular a e b . Então bora analisar outro ponto, pra gente conseguir montar um sistema.

Passo 3

Repare que no entorno de x = 3 , para que a função seja contínua também nesta região é necessário que

lim x → 3 ⁡ f ( x ) = f 3

Vamos precisar analisar de novo o limite pela esquerda e pela direita. Pela esquerda:

lim x → 3 - ⁡ a x 2 - b x + 3

= 9 a - 3 b + 3

Pela direita:

lim x → 3 + ⁡ 2 x - a + b    

= 6 - a + b

Como precisamos que o limite pela direita e o limite pela esquerda sejam iguais:

9 a - 3 b + 3 = 6 - a + b

10 a - 4 b = 3     ( i i )

Passo 4

Agora, para encontrar o valor de a e b , só precisamos resolver o sistema formado pelas equações ( i ) e ( i i ) .

4 a - 2 b = 1   10 a - 4 b = 3

Vamos então resolver o sistema!

Pela equação (i), podemos escrever que

2 b = 4 a - 1   ( i i i )

Substituindo a equação ( i i ) , temos

10 a - 2 ( 4 a - 1 ) = 3

Resolvendo esta equação encontramos

a = 1 2

Substituindo a equação ( i i i ) , temos

2 b = 2 - 1

b = 1 2

Para que a função seja contínua precisamos que:

a = 1 2           e           b = 1 2

Resposta

a = 1 2           e           b = 1 2 .

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