Enunciado

a) Se f x = x / ( x 2 - 1 ) , encontre f ' ( x ) .

b) Verifique que se sua resposta da parte (a) é razoável comparando os gráficos f e f ' .

Passo 1

E aí! como vai?

Nesse problema foi dada a função

f x = x x 2 - 1

E nosso objetivo é calcular f ' x e esboçar os gráficos de f e f ' para compara-los.

Parece complicado?

A primeira coisa que podemos perceber quando vemos a função f é que se trata de uma razão entre duas funções de x .

Por isso, para simplificar nossa vida podemos usar a regra do quociente.

f x = g x h x ,     f ' x = g ' x · h x - g x · h ' x h 2 x

Então bora encontrar g ' x e h ' x e substituir em f ' x .

Bora lá!

Passo 2

Comparando f x com a função da regra do quociente, podemos perceber que g x = x e h x = x 2 - 1 .

Em ambas as derivadas vamos calcular pela regra da potência.

g ' x = 1 x 1 - 1 = 1

h ' x = 2 x 2 - 1 - 1 0 = 2 x

Substituindo em f ' , temos

f ' x = g ' x · h x - g x · h ' x h 2 x

f ' x = 1 · x 2 - 1 - x · 2 x x 2 - 1 2

Simplificando...

f ' x = x 2 - 1 - 2 x 2 x 2 - 1 2

f ' x = - x 2 - 1 x 2 - 1 2

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora temos que esboçar os gráficos de f e f ' .

Começando por f , temos

f x = x x 2 - 1

Perceba que temos duas assíntotas verticais nessa função... uma em x = 1 e outra em x = - 1 . Em ambos os casos, podemos perceber que quando x se aproxima pela direita, a função é positiva ( f tende a + ∞ ) e quando nos aproximamos pela esquerda a função é negativa ( f tende a - ∞ ).

Quando x = 0 , f = 0 e quando x tende a ± ∞ podemos aproximar a função para 1 / x e portanto y = 0 é uma assíntota.

Sacou?

Agora vamos analisar a função f '

f ' x = - x 2 - 1 x 2 - 1 2

Perceba que podemos reutilizar praticamente as mesmas características... a diferença é que agora todo o denominador está ao quadrado e portanto em ambas as assíntotas verticais a função vai tender a - ∞ nos dois lados pois o numerador será negativo.

Portanto, esboçando os gráficos, em vermelho temos os gráfico de f e em azul o de f ' :

Observe que a curva azul é sempre negativa (abaixo do eixo x ) e a curva vermelha é sempre descrescente. Além disso, as duas curvas explodem nos mesmos pontos. Assim nossa resposta para a deriva de f é bem razoável, pelo menos graficamente.

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

f ' x = - x 2 - 1 x 2 - 1 2

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