Enunciado

a) Se f x = x - 1 e x , encontre f ' x e f ' ' x .

b) Verifique que se sua resposta da parte (a) é razoável comparando os gráficos f , f ' e f ' ' .

Passo 1

E aí! tudo certinho?

Nesse problema foi dada a função

f x = x - 1 e x

E nosso objetivo é calcular f ' e f ' ' . Além disso temos que esboçar os gráficos de f , f ' e f ' ' e compara-los.

Parece complicado?

Perceba que a função f se trata de um produto de duas outras funções de x . ( x - 1 e e x ).

Portanto, para calcular sua derivada, podemos aplicar a regra do produto.

f x = g x · h x ,     f ' x = g ' x · h x + g x · h ' x

Comparando a função da regra com a função do problema, podemos perceber que g x = x - 1 e h x = e x .

Então o que vamos fazer é calcular suas derivadas e substituir em f ' .

Bora lá!

Passo 2

Vamos começar calculando g ' x pela regra da potência

g ' x = 1 x 1 - 1 - 1 0 = 1

A derivada de h x é obtida pelo teorema fundamental do calculo.

h ' x = e x

Substituindo tudo que temos em f ' , vamos obter

f ' x = g ' x · h x + g x · h ' x

f ' x = 1 · e x + x - 1 · e x

Simplificando...

f ' x = e x 1 + x - 1

f ' x = x e x

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora podemos derivar f ' para obter f ' ' .

Pra isso vamos usar a mesma regra, porem agora g x = x

Pela regra da potência

g ' x = 1 x 1 - 1 = 1

Substituindo na regra para f ' ' , temos

f ' ' x = g ' x · h x + g x · h ' x

f ' ' x = 1 · e x + x · e x

Simplificando...

f ' ' x = 1 + x e x

Bacana, não é?

Passo 4

Agora temos que esboçar os gráficos de f , f ' e f ' ' .

Primeiro vamos ver o que elas tem em comum...

f x = x - 1 e x

f ' x = x e x

f ' ' x = 1 + x e x

Em todos os casos, podemos perceber que quando x tende a valores grandes negativamente, as funções tendem a 0 e quando x tende a valores grandes positivamente as funções tendem a por conta do termo e x que tende a 0 e a muito rápido.

A grande diferença entre elas será quando x = 0 ...

Nesse ponto temos f = - 1 , f ' = 0 e f ' ' = 1 .

Assim, esboçando as curvas, em vermelho temos os gráfico de f ,em azul o de f ' e em verde o de f ' '

Observe que quando a curva azul está abaixo do eixo x , a curva vermelha é crescente. O mesmo ocorre quando comparamos a curva verde com a azul. Além disso, onde a curva verde se anula a azul tem tangente horizontal. Analogamente, onde a curva azul intercecta o eixo x , a curva vermelha tem tange horizontal. Por fim, onde a curva verde é negativa, a curva vermelha tem concavidade para baixo. Vemos então que o comportamente gráfico das respostas encontrada é bem razoável.

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

f ' x = x e x

f ' ' x = x + 1 e x

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