Calcule a integral indefinida.

∫ x x 2 + 1   d x

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um   x 2 no denominador e uma função com x no numerador, podemos então usar a mudança de variável:

u = x 2 + 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 2 x + 0   d x = 2 x d x → x d x = d u 2

Vamos agora fazer a substuição:

∫ x x 2 + 1   d x = ∫ 1 2 u d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

∫ 1 2 u d u = 1 2 ∫ 1 u d u = 1 2 ∙ ln ⁡ u + C = ln ⁡ u 2 + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso aqui foi u = x 2 + 1

∫ x x 2 + 1   d x = ∫ 1 2 u d u = ln ⁡ u 2 + C = ln ⁡ x 2 + 1 2 + C

Como x 2 + 1 > 0 podemos tirar o módulo:

∫ x x 2 + 1   d x = ln ⁡ x 2 + 1 2 + C = ln ⁡ x 2 + 1 2 + C

Resposta

∫ x x 2 + 1   d x = ln ⁡ x 2 + 1 2 + C

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