Enunciado

  1. Se f x = x ² - 1 x ² + 1 , encontre f ' x e f ' ' x .
  2. Verifique se sua resposta em (a) é razoável, comparando os gráficos de f , f ' e f ' ' .

Passo 1

Bom, precisamos derivar esta função. Antes de tudo devemos notar que há uma divisão entre os termos. Então o que usamos?

A Regra do Quociente, certo? Vamos lembrar:

Se chamarmos:

f x = x ² - 1

g x = x ² + 1

Derivando:

d d x f x = 2 x

d d x g x = 2 x

Substituindo:

d d x f x g x = x 2 + 1 ( 2 x ) - 2 x ( x ² - 1 ) ( x ² + 1 ) ²

Se isolarmos 2 x :

d d x f x g x = 2 x . x 2 + 1 - x 2 + 1 ( x ² + 1 ) ² = 4 x ( x ² + 1 ) ²

Então:

f ' x = 4 x ( x ² + 1 ) ²

Passo 2

Agora temos uma nova função:

f ' ( x ) = 4 x ( x ² + 1 ) ²

Também possui uma razão entre as funções, então vamos resolver da mesma maneira que f x .

Chamamos:

f x = 4 x

g x = x 2 + 1 2 = x 4 + 2 x ² + 1

Derivando:

d d x f x = 4

d d x g x = 4 x ³ + 4 x

Substituindo:

d d x f x g x = x 2 + 1 2 4 - ( 4 x ) ( 4 x ³ + 4 x ) ( x 2 + 1 2 ) ²

Então:

d d x f x g x = x 2 + 1 2 4 - 16 x ² ( x ² + 1 ) ( x 2 + 1 2 ) ² = 4 x ² + 4 - 16 x ² x 2 + 1 3

Ou seja:

f ' ' ( x ) = - 1 2 x 2 + 4 x 2 + 1 3

E pronto! Terminamos a letra a, e agora vamos para a b!

Passo 3

Desenhando o gráfico, onde verde representa f, laranja f’ e rosa f’’:

A derivada primeira nos mostra a inclinação da reta tangente ao gráfico da função. Então, pelo gráfico, quando a derivada é positiva, a reta tangente tem inclinação crescente e, consequentemente, a função também cresce. Quando a inclinação diminui, a função decresce. Quando a derivada primeira é zero, a reta tangente possui inclinação horizontal naquele ponto!

Quando a derivada segunda é igual a zero, a derivada primeira possui uma inclinação tangente horizontal. A mesma análise pode ser feita para a derivada segunda, já que quando a derivada é positiva, a reta tangente tem inclinação crescente e, consequentemente, a função também cresce. Quando a inclinação diminui, a função decresce.

Com relação à função, quando f’’ é negativo o gráfico é côncavo para baixo e côncavo para cima quando f’’ é positivo.

Resposta

f ' x = 4 x ( x ² + 1 ) ²

f ' ' ( x ) = - 12 x 2 + 4 x 2 + 1 3

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