Enunciado

  1. Se f x = ( x ³ - x ) e x , encontre f ' x .
  2. Verifique se sua resposta em (a) é razoável, comparando os gráficos de f e f ' .

Passo 1

Oi galerinha, bora resolver mais uma comigo?

Claro! Vamos lá.

Para encontrar a derivada de f x = ( x ³ - x ) e x , primeiro aplicamos a regra do produto, que afirma que a derivada de uma função do produto é dada pela derivada da primeira função vezes a segunda função mais a primeira função vezes a derivada da segunda função.

Então, aplicando esta regra, temos:

f ' x =   x 3   -   x ' e x   +   x 3 -   x e x '

Agora, precisamos calcular as derivadas das duas partes.

1. Derivada de x 3 - x usando a regra de potência:

  x 3 -   x ' =   3 x 2 -   1

2. Derivada de e x que é a própria função exponencial:

e x ' =   e x

Substituindo esses valores na expressão de f ' ( x ) temos:

f ' x =   3 x 2 -   1 e x +   x 3 -   x e x

f ' ( x )   =   e x 3 x 2 -   1   +   x 3 -   x

f ' x =   e x x 3 +   3 x 2 -   x   -   1

Essa é a derivada de f x , que é f ' ( x )

Agora, para verificar se a resposta é razoável, podemos comparar os gráficos de f ( x ) e f ' ( x ) . Se f ' ( x ) representa a taxa de variação de f ( x ) então os pontos críticos de f ( x ) (onde   f ' ( x )   =   0 ou f ' ( x ) não está definida) indicarão pontos importantes no gráfico de f x .

Passo 2

Desenhando o gráfico,

A derivada nos mostra a inclinação da reta tangente ao gráfico da função. Então, pelo gráfico, quando a derivada é positiva, a reta tangente tem inclinação crescente e, consequentemente, a função também cresce. O oposto também acontece. E quando a derivada é zero, a reta tangente tem uma inclinação horizontal,

Resposta

f ' x = e x ( x 3 + 3 x 2 - x - 1 )

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