Enunciado

Encontre o limite:

43) lim x → 0 ⁡ s e n   ( 3 x ) 5 x ³ - 4 x

Passo 1

Oieee, boraa??

Regra do Quociente:

A expressão é um quociente de duas funções: s i n ( 3 x )   e     5 x 3 - 4 x .

Podemos aplicar a regra do quociente para calcular o limite se soubermos os limites de cada uma dessas funções.

Limites das Funções Individuais:

Vamos primeiro calcular os limites das funções individuais:

- lim x → 0 ⁡ sin ⁡ ( 3 x )

- lim x → 0 ⁡ ( 5 x 3 - 4 x )

Limite de sin ⁡ ( 3 x ) :

Sabemos que lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x = 1 quando x → 0

Portanto, para sin ⁡ ( 3 x ) podemos substituir 3 x por u , e temos

lim u → 0 ⁡ sin ⁡ u u = 1

Portanto,

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ ( 3 x ) = 3 ⋅ 1 = 3

Limite de 5 x 3 - 4 x

Para 5 x 3 - 4 x , podemos simplesmente calcular o valor da função quando x → 0 , o que resulta em 0 - 0 = 0

Substituindo na Regra do Quociente:

Substituímos os resultados dos limites das funções individuais na expressão original:

lim x → 0 ⁡ s e n   ( 3 x ) 5 x ³ - 4 x = 3 0

Passo 2

Vamos manipular um pouquinho essa função e tirar esta indeterminação, ok?!

lim x → 0 ⁡ s e n   3 x 5 x 3 - 4 x = lim x → 0 ⁡ s e n   ( 3 x ) x . 1 5 x ² - 4

Quando nós temos algo do tipo:

lim x → 0 ⁡ s e n   ( x ) x = 1

Passo 3

Então vamos fazer aparecer algo assim, está bem?

lim x → 0 ⁡ s e n   3 x x . 1 5 x 2 - 4 = lim x → 0 ⁡ s e n   ( 3 x ) 3 x . 3 5 x ² - 4

Agoora sim!

lim x → 0 ⁡ s e n   3 x 3 x . l i m x → 0 3 5 x 2 - 4 = 1 . - 3 4 = - 3 4

Resposta

lim x → 0 ⁡ s e n   ( 3 x ) 5 x ³ - 4 x = - 3 4

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