Enunciado

Encontre o vértice, o foco, e a diretriz da parábola e esboce o seu gráfico.

2 x 2 - 16 x - 3 y + 38 = 0

Passo 1

Falaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos dá a seguinte equação que descreve uma parábola:

2 x 2 - 16 x - 3 y + 38 = 0

Queremos encontrar o vértice, o foco e a diretriz dessa parábola... mas o que são eles?

Bom... seja a seguinte parábola:

  • O ponto F é chamado de foco e determina essa figura;
  • A reta r é chamada de diretriz da parábola. A distância entre qualquer ponto da parábola e a sua diretriz é igual à distância entre esse mesmo ponto da parábola e o seu foco;
  • O vértice da parábola é o ponto mais próximo de sua diretriz.

Para encontrarmos o foco e a diretriz, temos que encontrar o valor de p na seguinte equação padrão da parábola:

y 2 = 4 p x

E, para encontrarmos o vértice, basta reorganizar a equação dada e ver os números que estão somando ou subtraindo os valores de x e y .

Então bora lá!! 😉

Passo 2

Vamos encontrar o valor de p , para isso, devemos organizar os termos na equação da parábola para que ela se aproxime da forma padrão:

2 x 2 - 16 x - 3 y + 38 = 0

Colocando o y para o outro lado da igualdade:

2 x 2 - 16 x = 3 y - 38

Colocando o 2 em evidência:

2 x 2 - 8 x = 3 y - 38

Dividindo toda a equação por 2 :

x 2 - 8 x = 3 2 y - 19

Somando 16 dos dois lados:

x 2 - 8 x + 16 = 3 2 y - 3

Completando quadrados do lado esquerdo e tirando fator comum do lado direito:

( x - 4 ) 2 = 3 2 ( y - 2 )

E comparando com a equação padrão:

x 2 = 4 p y

Podemos concluir que p será:

4 p = 3 2

p = 3 8

Passo 3

Com o valor de p , podemos determinar o foco, já que ele é dado por ( 0 ,   p ) , que será:

0 + 4 , 3 8 + 2 = 4 ,   19 8

Para a diretriz, vamos usar a equação:

y = - p + 2

Então, substituindo p :

y = 13 8

Repare que precisamos somar as translações nas coordenadas x e y para o foco e na equação da diretriz, pois a definição ( 0 ,   p ) para o foco e y = - p para a diretriz pode ser aplicada somente se a parábola não sofreu translação.

Caso contrário, utilizamos o valor de p somado aos valores de translação na equação da parábola que encontramos anteriormente.

Passo 4

Para obtermos o vértice, precisamos olhar para a equação do passo 2 que obtemos:

( x - 4 ) 2 = 3 2 ( y - 2 )

Assim, os termos que estão subtraindo a x e a y (caso seja uma soma, nós invertemos o sinal) na equação serão as coordenadas do ponto.

Então comparando, podemos concluir que o vértice será ( 4 ,   2 ) .

Resposta

Foco: 4 ,   19 8

Diretriz: y = 13 8

Vértice: ( 4 ,   2 )

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