Enunciado

Encontre os vértices e os focos da elipse e esboce seu gráfico:

15. 9 x 2 - 18 x + 4 y 2 = 27

Passo 1

Vamos primeiro organizar a equação para que ela fique na forma padrão, para isso precisaremos somar 9 em ambos os lados da equação:

9 x 2 - 18 x + 4 y 2 + 9 = 27 + 9

Colocamos o 9 de alguns termos em evidência:

9 x 2 - 2 x + 1 + 4 y 2 = 36

Completamos quadrado:

9 ( x - 1 ) 2 + 4 y 2 = 36

E por fim, dividimos por 36 ambos os lados:

x - 1 2 4 + y 2 9 = 1

Passo 2

Agora podemos encontrar os valores de a e b , pela condição das elipses a ≥ b , podemos concluir então que:

a 2 = 9

b 2 = 4

E então calcularmos cada um:

a = ± 3

b = ± 2

Passo 3

Com esses valores podemos calcular c:

c = ± a 2 - b 2

c = ± 9 - 4

c = ± 5

Passo 4

Como o a 2 é o denominador do y 2 na equação da elipse, sabemos que os focos estão num eixo paralelo ao eixo y, assim como os vértices. E como a elipse está transladada para direita por x = 1 , os focos serão:

0 + 1 , ± c = 1 , ± 5

E os vértices:

0 + 1 , ± a = ( 1 , ± 3 )

Passo 5

O gráfico da elipse será:

Resposta

1 , ± 5

( 1 , ± 3 )

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