Enunciado

No sistema de navegação por rádio LORAN (LOng RAnge Navigation), duas estações locais de rádios situadas em A e B transmitem sinais simultaneamente para um navio ou avião localizados em P . O computador de bordo converte a diferença de tempo na recepção desses sinais em diferença de distância P A - P B e isso, de acordo com a definição de uma hipérbole, localiza o navio ou o avião em um ramo da hipérbole (veja a figura). Suponha que a estação B esteja localizada 600   k m a leste da estação A na costa. Um navio recebe o sinal de B 1200 microssegundos ( μ s ) antes de receber o sinal de A . (a) Assumindo que o sinal de rádio viaja a uma velocidade de 980   p é s / m s , encontre uma equação da hipérbole na qual o navio está. (b) Se o navio deveria estar ao norte de B , a que distância da costa ele estará?

Passo 1

Primeira coisa vamos lembrar a equação geral da hipérbole

x a 2 - y b 2 = 1

Na qual

c 2 = b 2 + a 2

Onde c é a distância entre o centro da hipérbole e algum dos focos.

Outra coisa que seria interessante recordarmos, é que a dado um ponto qualquer em nossa hipérbole, a diferença entre a distância entre os focos e ponto, será sempre de 2 a .

Passo 2

  1. Na primeira parte do nosso problema, somos informados que a diferença entre o tempo que o sinal levou para o navio receber entre a estação B e a A foi de 1200   μ s , ou seja
  2. P A - P B = 1200   μ s 980 p é s μ s = 1176000   p é s ≈ 358444 m = 2 a  

    a =   179222   m = 179,222   k m

    Outra coisa que temos é que, como c é a distância entre a origem e o foco, podemos observar que c = 300 . Assim

    b 2 = c 2 - a 2 → b   ≈ 240,58 2

    Desta forma temos

    x 179,222 2 - y 240,582 2 = 1

    Passo 3

  3. Vamos tomar x = 300 , teremos que

300 179,222 2 - y 240,582 2 = 1 → y ≈ 322,949

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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