Enunciado

∬ D x 2 y   d A ,   onde D é a metade superior do disco com centro na origem e raio 5.

Passo 1

Cara, a gente quer passar isso pra coordenadas polares, certo?! Belê, vamos lembrar que:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

J = r

Se liga, esse J é o nosso Jacobiano, sempre quando a gente faz uma mudança ele é super importante e não podemos esquecer de colocá-lo na integral.

Okay, agora vamos pegar a função ali dentro da integral e ver como ela fica.

∬ D x 2 y   d A = ∬ D [ r cos ⁡ θ ) 2 r sen ⁡ θ   r   d r   d θ = ∬ D r 4 cos 2 ⁡ θ sen ⁡ θ d r   d θ

Passo 2

Cara, mexemos na nossa função, ai beleza, acabou né?! Nããããooooo! Ainda não acabamos. A gente ainda precisa achar os limites de integração

A nossa região D é a parte superior de um disco com centro na origem e raio 5. Mas okay, o que isso pode me dar?! Olha só, vamos começar discutindo sobre o raio.

O disco está centrado na origem e seu raio é 5, ou seja, ele vai da origem até 5, de 0 a 5. Então a variação em r já temos, sendo

0 ≤ r ≤ 5

Show então já sabemos um dos limites de integração!

Agora partindo pra essa questão de ser a parte superior. Quando o disco é completo, ele dá uma volta completa, ou seja, 2 π . Maaas o enunciado nos diz que é só a metade, então ele deu meia volta, ou seja, π . Então, ele saiu de 0 para π , daí

0 ≤ θ ≤ π

Agora que temos nossos limites de integração, vamos resolver nossa integral!!!

Passo 3

∫ 0 π ∫ 0 5 r 4 cos 2 ⁡ θ sen ⁡ θ   d r   d θ

Vamos começar fazendo o famoso Fubini e integrando primeiro em relação a d r , ou seja, isso aqui

∫ 0 5 r 4 cos 2 ⁡ θ sen ⁡ θ   d r

Nessa integral, como estamos integrando em relação a d r , podemos tirar cos 2 ⁡ θ s e n θ , porque eles são como constantes nessa integral, então ficamos com:

cos 2 ⁡ θ s e n θ ∫ 0 5 r 4 d r

Agora ficou molezinha, integrando esse r temos isso aqui

cos 2 ⁡ θ sen ⁡ θ   * r 5 5 0 5  

625 cos 2 ⁡ θ sen ⁡ θ  

Agora vamos pegar esse resultado e aplicar na integral de fora!

Passo 4

625 ∫ 0 π cos 2 ⁡ θ sen ⁡ θ d θ

Vamos fazer uma substituição simples

u = cos ⁡ θ

d u = - sen ⁡ θ d θ

625 ∫ - u 2 d u = - 625 u 3 3

Voltando pra função cos ⁡ θ , teremos:

- 625 cos 3 ⁡ θ 3 0 π

- 625 * ( cos 3 ⁡ π - cos 3 ⁡ 0 ) 3 = 1250 3

Resposta

∬ D x 2 y   d A = 1250 3

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