Enunciado

Encontre os vértices e os focos da elipse e esboce seu gráfico

16-

x 2 + 2 y 2 - 6 x + 4 y + 7 = 0

Passo 1

Essa elipse tem a cara de uma elipse que está com centro fora da origem. E uma função desse tipo tem a seguinte cara:

x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 = 1

Então temos que arrumar o que está escrito no enunciado até ficar com essa forma. Vamos tentar organizar x com x e y com y .

x 2 - 6 x + 2 y 2 + 4 y = - 7

Passo 2

Agora vem o bizu monxtro da questão. Nós temos que forças um produto notável com x e outro produto notável com y e com isso somar os dois lados da equação com o fator que falta para formar um produto notável perfeito:

Começando com y nós conseguimos ver que 2 y 2 + 4 y é muito parecido com:

2 y + 1 2 = 2 y 2 + 2 y + 1 = 2 y 2 + 4 y + 2

Logo basta somar um 2 nos dois lados.

Agora para x podemos ver que x 2 - 6 x se assemelha muito com:

x - 3 2 = x 2 - 6 x + 9

Então basta somar 9 aos dois lados.

Não sei se vocês perceberam mas uma equação do tipo:

c ( x 2 + a )

Está próximo de uma equação:

c x + a 2 2

Passo 3

Logo vamos somar 2   e 9 na equação

x 2 - 6 x + 2 y 2 + 4 y = - 7

x 2 - 6 x + 9 + 2 y 2 + 2 y + 1 = - 7 + 2 + 9

x - 3 2 + 2 y + 1 2 = 4

Dividindo a equação por 4 temos:

x - 3 2 4 + y + 1 2 2 = 1

Está da forma que deveria estar!

Passo 4

Com essa equação percebemos que a elipse tem centro igual a:

( 3 , - 1 )

Para encontrar esse valor basta zerar os numeradores das frações.

E tem valores de a e b iguais a:

a = 4 = 2

b = 2

Logo os vértices dessa elipse estarão em:

( 3 ± 2 , - 1 )

E

( 3 , - 1 ± 2 )

Não confundir, b vai com y e a com x .

E como a > b então podemos dizer que o eixo maior da elipse estará no eixo x. Então os focos valerão:

( 3 ± c , - 1 )

Onde c valerá:

c = a 2 - b 2 = 4 - 2 = 2

Logo os focos estarão em:

( 3 ± 2 , - 1 )

Gráfico da função:

Resposta

Vértices horizontais:

( 3 ± 2 , - 1 )

Vértices verticais:

3 , - 1 ± 2

Foco:

( 3 ± 2 , - 1 )

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Ache uma equação da circunferência satisfazendo as condições dadas: O centro está em - 2 ,5 e é tangente à reta x = 7 .
Ache uma equação da circunferência satisfazendo as condições dadas: O centro está em - 3 , - 5 e é tangente à reta 12 ⋅ x + 5 ⋅ y = 4 .