Enunciado

Desenhe um esboço do gráfico da equação:

x^2 * y^2 = 4

Passo 1

Para esboçar o gráfico de uma equação, precisamos saber o tipo de gráfico que ela representa. Para isso, observamos as potências de x e de y na equação e comparamos com as equações básicas que nós sabemos, como y = x , y = x^2 , x^2 + y^2 = 1 , x * y = 1 , entre outras que conhecemos. Depois é só deslocar o gráfico base em a unidades para a esquerda, para a direita, para baixo ou para cima, respectivamente, quando substituímos x por x +- a ou y por y +- a , e ainda alongar ou contrair o gráfico caso tenha alguma constante multiplicando as variáveis. Nesse último caso, substituímos valores para saber como a constante alterou o gráfico base.

Passo 2

Para descobrir que equação base usaremos, vamos precisar trabalhar essa equação.

(x * y)^2 - 2^2 = 0

Utilizando diferença de quadrados ( a^2 - b^2 = (a + b) * (a - b) ), temos,

(x * y + 2) * (x * y - 2) = 0

x * y + 2 = 0 vv x * y - 2 = 0

x * y = - 2 vv x * y = 2

Ou seja, nossa equação representa duas hipérboles simultaneamente. Assim, analisaremos a equação base x * y = 1 . Dessa forma, o gráfico base será:

Passo 3

Multiplicando o fator x * y por (1)/(2) , alongamos o gráfico igualmente nas duas direções. Para sabermos o quanto foi alongado, vamos substituir primeiro x = 1 e depois y = 1 .

(1)/(2) * x * y = 1 <=> x * y = 2

x = 1 => 1 * y = 2 => y = 2

E

y = 1 => x * 1 = 2 => x = 2

Assim, o gráfico deve passar pelos pontos A : (1 , 2) e B : (2 , 1) .

Passo 4

Multiplicando x por - 1 , rebatemos o gráfico em relação ao eixo y. Como é um gráfico simétrico, multiplicar y por - 1 e rebater em relação ao eixo x resulta no mesmo gráfico.

(- x) * y = 2 <=> x * (- y) = 2 <=> x * y = - 2

Passo 5

Com isso, podemos construir um gráfico com as duas hipérboles juntas e, assim,

Resposta

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