Enunciado

Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas.

y = k x 2

Passo 1

O problema pede para achar as trajetórias ortogonais as curvas dadas. Para isso, o prosseguimento é o seguinte:

Primeiro achamos a inclinação das tangentes tomando as derivadas:

m = y '

Como queremos a trajetórias ortogonais, a inclinação das curvas que procuramos é dada por

m ' = - 1 m

Neste caso, temos y = k x 2 . Assim,

y ' = 2 k x

Mas sabemos também que k = y / x 2 , de modo que

y ' = 2 ⋅ y x 2 ⋅ x = 2 y x

Portanto,

m = 2 y x

Passo 2

Desta forma, a inclinação das trajetórias ortogonais serão

m ' = - x 2 y

Para achar as curvas y = y ( x ) , basta fazer

d y d x = m ' = - x 2 y

Assim,

2 y   d y = - x   d x

Integrando dos dois lados

y 2 = - x 2 2 + C

Na figura a seguir esboçamos algumas dessas curvas para diferentes valores de C :

Resposta

y 2 = - x 2 2 + C

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