Enunciado

Encontre os vetores T , N e B no ponto indicado.

r (t) = 〈e^t , e^t sen t , e^t cos t〉 , ( 1,0 , 1 )

Passo 1

O ponto ( 1,0 , 1 ) corresponde a t = 0 .

Então temos que

r (t) = e^t 〈1 , sen t , cos t〉

Para calcular T usaremos a fórmula

T (t) = (r ' ( t ))/(| r^' (t) |)

Calculando r ' ( t ) :

r^' (t) = e^t 〈1 , sen t , cos t〉 + e^t 〈0 , cos t , - sen t〉 = e^t 〈1 , sen t + cos t , cos t - sen t〉

E

Calculando o módulo:

|r^' (t)| = e^t sqrt(1 + sen^2 t + 2 sen t cos t + cos^2 t + cos^(2 t) - 2 sen t cos t + sen^2 t)

Assim, temos que

T (t) = (e^t 〈1 , sen t + cos t , cos t - sen t〉)/(e^t sqrt(1 + sen^2 t + 2 sen t cos t + cos^2 t + cos^(2 t) - 2 sen t cos t + sen^2 t)) = (〈1 , sen t + cos t , cos t - sen t〉)/(sqrt(3))

Assim, em T ( 0 ) :

T (0) = 〈(1)/(sqrt(3)) , (1)/(sqrt(3)) , (1)/(sqrt(3))〉

Isso implica que

T^' (t) = (1)/(sqrt(3)) 〈0 , cos t - sen t , - sen t - cos t〉

Passo 2

Agora, para encontrarmor N fazemos:

N (t) = (T^' (t))/(| T^' (t) |) = ((1)/(sqrt(3)) 〈0 , cos t - sen t , - sen t - cos t〉)/((1)/(sqrt(3)) sqrt(0^2 + cos^2 t - 2 cos t sen t + sen^2 t + sen^2 t + 2 sen t cos t + cos^2 t)) = (1)/(sqrt(2)) 〈0 , cos t - sen t , - sen t - cos t〉

Assim,

N (0) = 〈0 , (1)/(sqrt(2)) , - (1)/(sqrt(2))〉

Passo 3

E

B (0) = T (0) xx N ( 0 )

Então,

B (0) = 〈(1)/(sqrt(3)) , (1)/(sqrt(3)) , (1)/(sqrt(3))〉 xx 〈0 , (1)/(sqrt(2)) , - (1)/(sqrt(2))〉

Isso implica que

B (0) = |[[i,j,k],[(1)/(sqrt(3)),(1)/(sqrt(3)),(1)/(sqrt(3))],[0,(1)/(sqrt(2)),-,(1)/(sqrt(2))]]| = 〈- (2)/(sqrt(6)) , (1)/(sqrt(6)) , (1)/(sqrt(6))〉

Resposta

Assim, obtemos T , N e B .

T = 〈(1)/(sqrt(3)) , (1)/(sqrt(3)) , (1)/(sqrt(3))〉

N = 〈0 , (1)/(sqrt(2)) , - (1)/(sqrt(2))〉

B = 〈- (2)/(sqrt(6)) , (1)/(sqrt(6)) , (1)/(sqrt(6))〉

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Utilize a fórmula do exercício 55 ( d ) para calcular a torção da curva r → t = t , 1 2t 2 ,1 3t 3
A molécula de DNA tem a forma de duas hélices circulares (veja figura 3 na seção 13.1 ). O raio de cada uma das hélices é de cerca de 10 â n g t r ö m s â ö 1 A = 10 - 8 c m . Cada hélice, em uma volt
Determine a torção e a curvatura da curva x = s e n ht ,y = cosh ⁡ t , z = t no ponto ( 0 , 1,0 ) .
Utilize as formulas de Frenet-Serret para demonstrar cada um dos seguintes itens. (Aqui as linhas indicam derivadas com relação a t . Comece como na demonstração do teorema 10 .) r → ' ' = s ' ' T → +
Mostre que d B → / d s é perpendicular a B → . Mostre que d B → / d s é perpendicular a T → . Deduza das partes a e( b ) que d B → d s = - τ s N → para algum número τ ( s ) chamado torção da curva. (A