Enunciado

Utilize as formulas de Frenet-Serret para demonstrar cada um dos seguintes itens. (Aqui as linhas indicam derivadas com relação a t . Comece como na demonstração do teorema 10 .)

  1. r → ' ' = s ' ' T → + κ s ' 2 N →
  2. r → ' × r → ' ' = κ s ' 3 B →
  3. r → ' ' ' = s ' ' ' - κ 2 s ' 3 T → + 3 κ s ' s ' ' + κ ' s ' 2 N → + κ τ s ' 3 B →
  4. τ = r → ' × r → ' ' ⋅ r → ' ' ' | r → ' × r → ' ' ​ 2

Passo 1

Olá, tudo bem? Vamos começar?

Sabendo que o vetor tangente T → é

T → = r ' s '

Então:

r ' = T → s '

E derivando dos dois lados temos, pela regra do produto:

r ' ' = T → ' s ' + T → s ' '

Usando a regra da cadeia na derivada T → ' :

r → ' ' = d T → d s   . d s d t s ' + T → s ' '

E agora utilizando a primeira fórmula de Frenet-Serret ( d T → d s = κ N → )

r → ' ' = s ' 2 κ N → + T → s ' '

Passo 2

Agora vamos calcular r → ' × r → ' ' . A partir dos valores de r → ' e r → ' ' do passo 1 temos:

r → ' × r → ' ' = T → s ' × s ' 2 κ N → + T → s ' '

Utilizando a propriedade distributiva do produto vetorial (CUIDADO COM A ORDEM DOS VETORES!):

r → ' × r → ' ' = s ' 3 κ T → × N → + s ' s ' ' ( T → × T → )

Sabendo que T → × T → = 0 e que T → × N → = B → temos:

r → ' × r → ' ' = s ' 3 κ B →

Passo 3

Agora vamos pegar o resultado de r → ' ' do passo 1 :

r → ' ' = s ' 2 κ N → + T → s ' '

E derivar novamente em relação a t . Notem que do primeiro termo do lado direito vão surgir três termos quando fizermos a derivação hein =)

Vamos lá?

r → ' ' ' = κ ' s ' 2 N → + κ s ' 2 N → ' + 2 κ N → s ' s ' ' + T → ' s ' ' + T → s ' ' '

Usando a regra da cadeia nas derivadas T → ' e N → ' :

r → ' ' ' = κ ' s ' 2 N → + κ s ' 2 d N → d s   . s ' + 2 κ N → s ' s ' ' + d T → d s   . s ' s ' ' + T → s ' ' '

E agora utilizando a primeira e a segunda fórmula de Frenet-Serret:

r → ' ' ' = κ ' s ' 2 N → + κ s ' 3 τ B → - κ T → + 2 κ s ' s ' ' N → + κ s ' s ' ' N → + T → s ' ' '

E agora agrupando todos os termos com os mesmos vetores unitários:

r → ' ' ' = s ' ' ' - κ 2 s ' 3 T → + κ ' s ' 2 + 3 κ s ' s ' ' N → + κ τ s ' 3 B →

Demonstrada a relação =D Vamos para o último item?

Passo 4

Com os resultados dos itens ( b ) e ( c ) podemos fazer o produto escalar entre r → ' × r → ' '   e   r → ' ' ' :

( r → ' × r → ' ' ) ⋅ ( r → ' ' ' ) = s ' 3 κ B → ⋅ T → + κ ' s ' 2 + 3 κ s ' s ' ' N → + κ τ s ' 3 B →

Sabendo que os vetores T → ,   N →   e   B → são ortogonais entre si, então T → ⋅ B → = 0 e N → ⋅ B → = 0 e também B → ⋅ B → = 1 , então o produto escalar fica:

r → ' × r → ' ' ⋅ r → ' ' ' = κ 2 τ s ' 6

E o valor de r → ' × r → ' ' 2 é:

r → ' × r → ' ' 2 = s ' 3 κ 2

Agora podemos substituir os valores na expressão que queremos demonstrar:

r → ' × r → ' ' ⋅ r → ' ' ' r → ' × r → ' ' 2 = κ 2 τ s ' 6 s ' 3 κ 2 = τ

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Use o Teorema 10 para mostrar que a curvatura da curva plana parametrizada x = f t , y = g ( t ) , é κ = x ˙ y ¨ - y ˙ x ¨ x ˙ 2 + y ˙ 2 3 / 2
Dois gráficos, a e b , são mostrados. Um é a curva y = f ( x ) e o outro é o gráfico da função curvatura y = κ ( x ) . Identifique cada uma e justifique suas escolhas.
Use a Fórmula 11 para encontrar a curvatura. y = 4 x 5 / 2
Determine a equação da parábola que tenha curvatura 4 na origem.
Utilize uma calculadora gráfica ou um computador para traçar na mesma tela a curva e sua função curvatura κ ( x ) . Esse é o gráfico que você esperava? y = x 4 - 2 x 2