Enunciado

  1. Mostre que d B → / d s é perpendicular a B → .
  2. Mostre que d B → / d s é perpendicular a T → .
  3. Deduza das partes a e   ( b ) que d B → d s = - τ s N → para algum número τ ( s ) chamado torção da curva. (A torção mede o quanto a curva é retorcida)
  4. Mostre que para uma curva plana a torção τ s = 0 .

Passo 1

Olá, tudo bem? Vamos por partes?

Sabemos que o vetor binormal B → é um vetor unitário e, sendo assim, seu produto escalar é :

B → ⋅ B → = 1

Podemos diferenciar essa expressão em relação a s :

d B → d s ⋅ B → + B → ⋅ d B → d s = d ( 1 ) d s = 0

E como a ordem da multiplicação no produto escalar não importa, podemos agrupar os dois termos do lado esquerdo:

2 B → ⋅ d B → d s = 0

Então temos que o produto escalar entre dois vetores é igual a zero, consequentemente esses dois vetores são ortogonais entre si.

Passo 2

Partindo da definição de B → = T → × N → , vamos diferenciar em relação à s dos dois lados:

d B → d s = d T → × N → d s d s / d t = 1 | r ' ( t ) | d T → × N → d s

d B → d s = 1 | r ' ( t ) | . T → ' × N → + T → × N → '

Mas a definição de N → é

N → = T → ' | T → ' |

Então, substituindo N → no primeiro termo do lado direito temos:

d B → d s = 1 | r ' ( t ) | . T → ' × T → ' | T → ' | + T → × N → '

E o produto vetorial T → ' × T → ' é zero, então, por fim temos uma expressão para d B → d s :

d B → d s = T → × N → ' | r ' ( t ) |

E uma das propriedades do produto vetorial é que todos os vetores envolvidos são perpendiculares entre si, sendo assim o vetor d B → d s   é perpendicular a T → .

Passo 3

Partindo da definição B → = T → × N → , sabemos que esses três vetores formam uma base ortonormal para o espaço vetorial R 3 , pois são ortonogais entre si.

Das partes a   e   ( b )   temos que d B → / d s é perpendicular aos vetores T → e B → ao mesmo tempo, então, concluímos que o vetor d B → d s é paralelo ao vetor N → .

Sendo ele paralelo, podemos escrever d B → d s como sendo um múltiplo escalar do vetor N → :

d B → d s = τ N →

O negativo desse escalar é chamado de torção:

d B → d s = - τ ( s ) N →

Passo 4

Já estamos carecas de saber que B → = T → × N → , e que T → e N → são vetores unitários e perpendiculares entre si.

Para um plano, ambos os vetores T → e N → situam-se no plano da curva, então B → é perpendicular ao plano da curva e é um vetor constante (em um plano não temos mudança de curvatura),e tão d B → d s = 0 .

E da parte c :  

d B → d s = - τ s N → = 0

Como N → ≠ 0 , então τ s = 0 .

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

a   B → ⋅ d B → d s = 0

b d B → d s = T → × N → ' | r ' ( t ) | ∴   d B → d s ⊥ T →

( c ) d B → d s = τ N →

( d ) d B → d s = - τ s N → = 0

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