Enunciado

Utilize a fórmula do exercício 55 ( d ) para calcular a torção da curva r → t = t , 1 2   t 2 ,   1 3   t 3

Passo 1

Olá, tudo bem? Pra calcular a torção τ de uma curva em função do parâmetro t , vamos relembrar como é sua fórmula.

A torção τ ( t ) :

τ t = r → ' t × r → ' ' t ⋅ r → ' ' ' r → ' t × r → ' ' t ²    

Então nosso primeiro passo vai ser determinar quem é nosso vetor posição r → ( t ) e as derivadas temporais:

r → t = t ; t 2 2 ; t 3 3

r → ' t = 1 ; t ; t 2

r → ' ' t = 0 ; 1 ; 2 t

r → ' ' ' t = ( 0,0 , 2 )

Certo até aqui?

Passo 2

O próximo passo é calcular as quantidades r → ' × r → ' '   e     r → ' × r → ' ' 2

Começando pelo produto vetorial:

r → ' × r → ' ' = i → j → k → 1 t t 2 0 1 2 t = i → 2 t 2 - t 2 + j → - 2 t + k → ( 1 )

r → ' × r → ' ' = ( t 2 ;   - 2 t ; 1 )

Agora calculando r → ' × r → ' ' 2 :

r → ' × r → ' ' 2 = t 2 2 + - 2 t 2 + 1 2

r → ' × r → ' ' 2 = t 4 + 4 t 2 + 1

Passo 3

Agora vamos calcular o produto escalar entre os vetores r → ' × r → ' '   e   r → ' ' ' :

( r → ' × r → ' ' ) ⋅ r → ' ' ' = t 2 ;   - 2 t ; 1 ⋅ 0 ; 0 ; 2 = 2

Passo 4

Agora vamos resgatar a fórmula para a torção τ ( t ) do passo 1 :

τ t = r → ' t × r → ' ' t ⋅ r → ' ' ' r → ' t × r → ' ' t ²

O numerador calculamos no passo 3 e o denominador calculamos no passo 2 , agora é só juntar tudo:

τ t = 2 t 4 + 4 t 2 + 1

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

τ t = 2 t 4 + 4 t 2 + 1

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