Enunciado

Encontre o volume do sólido S descrito. A base de S é a região triangular com vértices ( 0,0 ) ,   ( 1,0 ) , e ( 0,1 ) . As secções transversais perpendiculares ao eixo y são triângulos equiláteros.

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema temos que encontrar o volume do solido onde a base de S é a região triangular com vértices ( 0,0 ) ,   ( 1,0 ) , e ( 0,1 ) . As secções transversais perpendiculares ao eixo y são triângulos equiláteros

Pensando no enunciado temos a seguinte figura:

Veja só!

Passo 2

A seção transversal da base corresponde à coordenada y que tem comprimento x = 1 - y . O triângulo equilátero correspondente com lado s tem área

A y = s 2 3 4 = 1 - y 2 3 4

Assim sendo, nosso volume é:

V = ∫ 0 1 A y d y = ∫ 0 1 1 - y 2 3 4 d y

V = 3 4 ∫ 0 1 1 - 2 y + y 2 d y

Calculando a integral e aplicando os limites de integração...

V = 3 4 y - y 2 + 1 3 y 3 0 1

V = 3 4 1 3

V = 3 12

E fim! Entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

V = 3 12

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