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Ache o volume comum aos dois cilindros circulares, cada qual com raio r , se os eixos dos cilindros se interceptam em ângulos retos.

Passo 1

Podemos calcular o volume através da fórmula:

V = ∫ a b A x d x

Cada seção transversal do sólido S no plano perpendicular ao eixo x é um quadrado, um quarto desse quadrado e um oitavo de S é visto na figura abaixo:

Temos pela figura que os limites de integração são a = - r e b = r , e a área de um quarto de quadrado é dada pela expressão P Q 2 = r 2 - x 2 :

A x = 4 r 2 - x 2

Pronto, agora só falta calcular o volume:

V = ∫ a b A x d x = ∫ - r r 4 r 2 - x 2 d x

Passo 2

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ k d x = k x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Agora é só aplicar:

∫ 4 r 2 - x 2 d x = 4 r 2 x - x 3 3 + C

Passo 3

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Vamos lá:

V = ∫ - r r 4 r 2 - x 2 d x = 4 r 2 x - x 3 3 - r r = 4 r 2 r - r 3 3 - 4 r 2 - r - - r 3 3 = 4 r 3 - r 3 3 - 4 - r 3 + r 3 3 = 4 r 3 - r 3 3 + r 3 - r 3 3 = 16 r 3 3

Resposta

V = 16 r 3 3

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