Enunciado

(a) Encontre as assíntotas vertical e horizontal.

(b) Encontre os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente.

(c) Encontre os valores máximos e mínimos locais.

(d) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

(e) Use a informação das partes (a)-(d) para esboçar o gráfico de f .

f x = e arctg ⁡ x

Passo 1

Item a:

A assíntota vertical pode ser obtida nesse caso pelo limite de f quando x converge para o valor onde a função não está definida, o que neste caso não ocorre já que f está definida para todo número real.

As assíntotas horizontais são os valores que f converge quando x tende aos infinitos:

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ e arctg ⁡ x =   e π 2

E

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ e arctg ⁡ x =   e - π 2

Passo 2

Item b:

Se

f x = e arctg ⁡ x

Então:

f ' x = e arctg ⁡ x x 2 + 1

Para f crescente:

f ' x > 0

e arctg ⁡ x x 2 + 1 > 0

Para todo x real

Então f é crescente em todo o seu domínio.

Passo 3

Item c:

Se f é crescente em todo o seu domínio, então não possui máximo nem mínimo local.

Passo 4

Item d:

Se

f ' x = e arctg ⁡ x x 2 + 1

Então:

f ' ' x = e arctg ⁡ x 1 - 2 x x 2 + 1 2

Para f com concavidade para cima:

f ' ' x > 0

e arctg ⁡ x 1 - 2 x x 2 + 1 2 > 0

- 2 x + 1 > 0

x < 1 2

Para f com concavidade para baixo:

f ' ' x < 0

e arctg ⁡ x 1 - 2 x x 2 + 1 2 < 0

- 2 x + 1 < 0

x > 1 2

Assim, f possui concavidade para cima em valores de x no intervalo - ∞ , 1 2 e concavidade para baixo em 1 2 , ∞ . Então, o ponto de inflexão é em x = - 1 2 .

Passo 5

Item e:

Pelas informações obtidas temos o gráfico:

Resposta

(a) lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ e arctg ⁡ x =   e π 2

E

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ e arctg ⁡ x =   e - π 2

(b) f é crescente em todo o seu domínio.

(c) f não possui máximo nem mínimo local.

(d) f possui concavidade para cima em valores de x no intervalo - ∞ , 1 2 e concavidade para baixo em 1 2 , ∞ . Então, o ponto de inflexão é em x = - 1 2 .

(e)

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