Enunciado

Encontre o volume do sólido gerado quando a região delimitada por y = x 2 9 - x 2 ,   y = 0 ,   x = 0   e   x = 2 gira em torno do eixo x .

Passo 1

Então galera, para o sólido em questão, temos que calcular a seguinte integral, se liga:

V = π ∫ 0 2 x 2 2 9 - x 2 2 d x

Simplificando:

V = π ∫ 0 2 x 4 9 - x 2 2 d x

V = π ∫ 0 2 x 4 x 4 - 18 x 2 + 81 d x

Ok, estabelecemos uma integral para o cálculo do volume do sólido em questão. Como temos uma divisão de polinômios, a estratégia aqui será transformar o denominador em produto e utilizar frações parciais para simplificarmos nossa integral, beleza? Então bora lá!

Passo 2

Se dividirmos os polinômios, teremos:

x 4 x 4 - 18 x 2 + 81 = 1 + 18 x 2 - 81 x 4 - 18 x 2 + 81

x 4 x 4 - 18 x 2 + 81 = 1 + 18 x 2 - 81 9 - x 2 2 = 1 + 18 x 2 - 81 3 - x 2 3 + x 2

Show, primeira simplificação foi feita! Agora note que o denominador é um termo quadrático e, de acordo com o que vimos na seção 5 do Anton, quando isso acontece temos que separar as frações da seguinte forma:

18 x 2 - 81 3 - x 2 3 + x 2 = A x + 3 + B x + 3 2 + C x - 3 + D x - 3 2

Multiplicando a nossa equação pelo denominador, teremos:

18 x 2 - 81 3 - x 2 3 + x 2 = A 3 - x 2 3 + x 2 x + 3 + B 3 - x 2 3 + x 2 x + 3 2 +

C 3 - x 2 3 + x 2 x - 3 + D 3 - x 2 3 + x 2 x - 3 2

Simplificando, teremos:

18 x 2 - 81 = A 3 - x 2 x + 3 1 + B 3 - x 2 1 + C x - 3 3 + x 2 1 + D 3 + x 2 1

Show, galera! Agora temos que abrir isso aí e encontrar as constantes!

Passo 3

Como x é arbitrário, ou seja, podemos escolher qualquer valor que quisermos, vamos adotar x = - 3 e ver se encontramos algo:

18 . - 3 2 - 81 = 0 + B 3 + 3 2 + 0 + 0

81 = 36 B

∴ B = 9 4

Opa, encontramos uma constante! Agora vamos aplicar o valor x = 3 , se liga:

18 . 3 2 - 81 = 0 + 0 + 0 + D 3 + 3 2

81 = 36 D

∴ D = 9 4

Show, encontramos outra constante! Se substituirmos os valores encontrados, teremos:

18 x 2 - 81 = A x - 3 2 x + 3 + 9 4 x - 3 2 + C x - 3 x + 3 2 + 9 4 x + 3 2

Abrindo tudo isso, teremos:

18 x 2 - 81 = x 3 A + C + x 2 3 C + 9 2 - 3 A + x - 9 A - 9 C + 27 A + 81 2 - 27 C

Passo 4

Agora o que temos que fazer é resolver um sisteminhas com as incógnitas que queremos encontrar! Comparando o grau das variáveis, teremos:

A + C = 0 - 3 A + 3 C + 9 2 = 18 - 9 A - 9 C = 0 81 2 + 27 A - 27 C = - 81

Do sistema tiramos que:

A = - 9 4   e   C = 9 4

Substituindo os valores na nossa fração, teremos:

1 - 9 4 x + 3 + 9 4 x + 3 2 + 9 ( x - 3 ) + 9 4 x - 3 2

Então a integral que teremos que resolver é:

V = π ∫ 0 2 1 - 9 4 x + 3 + 9 4 x + 3 2 + 9 x - 3 + 9 4 x - 3 2 d x

Passo 5

Galera, separando em 5 integrais e resolvendo, teremos:

V = π ∫ 0 2 1 - 9 4 x + 3 + 9 4 x + 3 2 + 9 x - 3 + 9 4 x - 3 2 d x = π ( x - 9 4 ln ⁡ x + 3

- 9 4 . 1 x + 3 + 9 4 ln ⁡ x + 3 - 9 4 . 1 x - 3 ) 2 0

Aplicando os intervalos de integração, teremos:

V = π 19 5 - 9 4 ln ⁡ 5   u . v

E esse é o nosso resultado, pessoal! 😉

Resposta

V = π 19 5 - 9 4 ln ⁡ 5   u . v

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

∫ x 2 + x + 1 ( 2 x + 1 ) ( x 2 + 1 ) d x
∫ 2 x 3 + 9 x ( x 2 + 3 ) ( x 2 - 2 x + 3 ) d x
No exercício abaixo, realize uma divisão longa no integrando, escreva a fração própria como soma de frações parciais e então calcule a integral.35 – ∫ 9 x 3 - 3 x + 1 x 3 - x 2 d x
No exercício abaixo, realize uma divisão longa no integrando, escreva a fração própria como soma de frações parciais e então calcule a integral.36 – ∫ 16 x 3 4 x 2 - 4 x + 1 d x
Calcule a integral abaixo:39 – ∫ e t d t e 2 t + 3 e t + 2