∫ 3 x 3 + 13 x + 4 x 3 + 4 x d x

Passo 1

Vamos arranjar a equação de forma mais conveniente para resolver as frações parcias. Esse passo é feito manipulando as funções, fazendo que ela fique de forma mais agradável para gente, geralmente usamos as raízes para reescrever as equações.

∫ 3 x 3 + 13 x + 4 x ( x 2 + 4 ) d x

Passo 2

Agora vamos para frações parciais, temos que:

3 x 3 + 13 x + 4 x ( x 2 + 4 ) = A 2 x + B ( x 2 + 4 ) + C x

Isolando   3 x 3 + 13 x + 4 , vamos achar

3 x 3 + 13 x + 4 = ( A 2 x + B ) x + C ( x 2 + 4 )

Resolvendo o sistema de equações acima, temos:

A = - 1 2 ;                     B = 13 ;                     C = 1 ;

Agora substituindo os valores de A e B temos:

3 x 3 + 13 x + 4 x ( x 2 + 4 ) = - 1 2 2 x + 13 ( x 2 + 4 ) + 1 x

Passo 3

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

∫ 3 x 3 + 13 x + 4 x ( x 2 + 4 ) d x = ∫ - 1 2 2 x + 13 ( x 2 + 4 ) d x + ∫ 1 x d x    

Ficou fácil agora, basta resolver as integrais, que são bem simples.

Resposta

∫ 3 x 3 + 13 x + 4 x 3 + 4 x d x = - l n 2   -   x +   l n 4   +   x 2 + c

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