Enunciado

27-30. Verdadeiro/Falso. Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.

30. A área envolvida pela elipse x 2 + 4 y 2 = 1 é π 2 .

Passo 1

Então pessoal, a equação da elipse que nos foi dada é a seguinte:

x 2 + 4 y 2 = 1

Isolando y , a fim de encontrar uma expressão do tipo y x , teremos:

2 y 2 = 1 - x 2

y = 1 2 1 - x 2

Ok! Para encontrarmos a área dessa elipse basta calcularmos a integral dessa função. Pera, mas e os intervalos de integração? Como a elipse pode ser dividida em quatro partes, calculemos em apenas uma parte e no final multiplicamos por 4 ! A elipse tem raio 1 , logo a integral que temos que calcular é:

A = 4 . ∫ 0 1 1 2 1 - x 2 d x

Passo 2

Para a nossa integral, a substituição indicada é a trigonométrica. Como nossa raíz é do tipo a 2 - x 2 , então a substituição será:

x = a . s e n   θ

Como no nosso caso a = 1 , então:

x = s e n   θ

E disso tiramos que:

d x = cos ⁡ θ d θ

Substituindo na nossa integral:

A = 2 ∫ 0 1 1 - s e n 2 θ cos ⁡ θ d θ

Utilizando a relação fundamental da trigonometria:

A = 2 ∫ 0 1 cos 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ ⇒ A = 2 ∫ 0 1 cos 2 ⁡ θ d θ

Ok, simplificamos mais ainda nossa integral!

Passo 3

Para a integral que chegamos, utilizando a relação:

cos 2 ⁡ θ = 1 2 1 + cos ⁡ 2 θ

Encontramos como resultado:

A = 2 ∫ 0 1 cos 2 ⁡ θ d θ = 2 . 1 2 θ + 1 4 s e n   2 θ 1 0

2 . 1 2 θ + 1 4 s e n   2 θ 1 0 = θ + 1 2 s e n   2 θ 1 0

Voltando à variável x , temos:

θ + 1 2 s e n   2 θ 1 0 = a r c sin ⁡ θ + x . 1 - x 2 1 0

Substituindo os intervalos de integração, teremos:

A = π 2

Logo, podemos dizer que a afirmação, de fato, é verdadeira!

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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