Enunciado

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos

y = x ,   y = x ;           e m   t o r n o   d e   x = 2

Passo 1

Bom galera, nessa questão queremos encontrar o volume do sólido gerado ao rotacionar a função apresentada em torno do eixo especificado. Para isso, utilizaremos o conceito de Volume de Sólidos de revolução e as técnicas de integração para calcular o valor desse volume. Após encontrar o volume, iremos esboçar graficamente o sólido e a região.

Passo 2

Utilizando a definição de volume de sólido de revolução, podemos escrever a seguinte integral

V = ∫ 0 1 π 2 - y 2 2 - 2 - y 2 d y

Resolvendo a integral, temos

V = ∫ 0 1 π y 4 - 5 y 2 + 4 y d y = π y 5 5 - 5 3 y 3 + 2 y 2 0 1 = π 1 5 - 5 3 + 2 = 8 15 π

Passo 3

Podemos esboçar graficamente a região e o sólido da seguinte maneira

Resposta

V = 8 15 π

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1. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y , do conjunto de todos os pontos ( x , y ) tais que:a) 1 ≤ x ≤ e e 0 ≤ y ≤ ln ⁡ x
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y , do conjunto de todos os pares (x,y), tais que : 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ tan - 1 ⁡ x
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y , do conjunto de todos os pares (x,y), tais que : 0 ≤ x ≤ π e 0 ≤ y ≤ sin ⁡ x
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y , do conjunto de todos os pares (x,y), tais que : 0 ≤ x ≤ 1 ,x ≤ y ≤ x 2 + 1
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y , do conjunto de todos os pares (x,y), tais que : 1 ≤ x ≤ 4 1 ≤ y ≤ x