Enunciado

Encontre o volume do sólido obtido girando a região delimitada pelas curvas dadas sobre a linha especificada. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típico.

2 x = y 2 ,   x = 0 , y = 4     e m   t o r n o   d o   e i x o   y

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos encontrar o volume do sólido obtido girando a região delimitada pela seguinte curva:

2 x = y 2

E delimitada sobre as seguintes linhas:

x = 0 , y = 4    

Para isso, utilizaremos o conceito de Volume de Sólidos de revolução e as técnicas de integração para calcular o valor desse volume.

Lembrando que seja S um sólido que está entre x = a e x = b . Se a área da secção transversal de S no plano P x , passando por x e perpendicular ap eixo x , é A x , onde A é uma função contínua, então o volume S é dado por:

V = ∫ a b A x d x

Após encontrar o volume, iremos esboçar graficamente o sólido e a região.

Agora vamos aplicar!! 😉

Passo 2

Dadas a equações mencionadas no enunciado temos a seguinte região que será girada em torno do eixo y é a seguinte:

Perceba na figura que a nossa integral terá limites 0 e 4 .

Passo 3

Dessa forma nossa área do disco terá como raio y 2 2 e será dada por

A y = π ⋅ y 2 2 2 = π y 4 4

Então, nosso volume será dado por

V = ∫ 0 4 A y d y ∴

V = ∫ 0 4 π y 4 4 d y ∴

V = π �� y 5 20 0 4 ∴

V = 256 π 5

Passo 4

Esboçando o sólido e disco típico resultantes ao rotacionar a figura em torno do eixo y , temos:

Resposta

256 π 5

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y , do conjunto de todos os pares (x,y), tais que : 0 ≤ x ≤ 2 y ≥ x - 1 e 0 ≤ y ≤ x 2
Considere um triângulo isósceles situado no semiplano y ≥ 0 e com base paralela ao eixo x . Mostre que o volume do sólido obtido pela rotação deste triângulo, em torno do eixo x , é igual ao produto d
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y , do conjunto de todos os pares (x,y), tais que : 0 ≤ x ≤ 6 ,0 ≤ y ≤ 2ey ≥ x - 2
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y , do conjunto de todos os pares (x,y), tais que : y 2 ≤ x ≤ y
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y , do conjunto de todos os pares (x,y), tais que : 0 ≤ x ≤ e ,0 ≤ y ≤ 2ey ≥ ln ⁡ x