Enunciado

Questão: 40

Ache o volume do solido gerado pela rotação em torno do eixo x da região do Exercício 39.

Passo 1

Entendendo o problema

  1. Não precisamos saber desenhar o gráfico para encontrar o volume até porque é difícil a construção, mas você deve saber que para encontrar o volume fazemos ; ∫ f x d x , certo?

Passo 2

Calculando;

∫ a b A x d x = 4 π ∫ 0 4 x ²   e - x   d x

Usando integração por partes temos;

Seja

f(x) = x² derivando f’(x) = 2x

g’(x) = e - x integrando g(x) = -   e - x ,

substituindo na formula ficamos com;

∫ x ²   e - x d x = - x ²   e - x + 2 ∫ x   e - x d x

Usando novamente integração por partes na integral ∫ x   e - x d x ;

Seja

f(x) = x derivando f’(x) = 1

g’(x) =   e - x integrando g(x) = -   e - x

Substituindo;

∫ x   e - x d x =- x e - x +   ∫ e - x   d x = - x e - x - e - x ,

substituindo na equação principal;

∫ x ²   e - x d x = - x² e - x + 2 (- x e - x - e - x ) ,

Aplicando os intervalos;

Passo 3

Logo ;

∫ 2 x e - x 2   d x   = 2x. -2 e - x 2 + ∫ 4 e - x 2   d x

∫ 2 x e - x 2   d x   = -4x e - x 2 + 2.(-2)   e - x 2

= -4x e - x 2 – 4 e - x 2

Aplicando nos intervalos;

∫ 0 4 x ²   e - x   d x = - x e - x + 2 (- x e - x e - x )

∫ 0 4 x ²   e - x   d x = - x e - x -2 x e - x 2 e - x | 4 0

= -4 e - 4 -8 e - 4 -2 e - 4

Resposta

= -4 e - 4 -8 e - 4 -2 e - 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Ache o volume do sólido de revolução gerado quando a região limitada pela curva y = x 3 , pelo eixo x e pelas retas x = 1 e x = 2 é rotacionada em torno do eixo x .
Ache o volume do sólido de revolução gerado quando a região limitada pela curva y = x 2 + 1 , pelo eixo x e pelas retas x = 2 e x = 3 é rotacionada em torno do eixo x .
Ache o volume do solido de revolução descrito quando a região dada da figura for rotacionada em torno da reta indicada.Uma equação da curva na figura é y 2 = x 3 O A C em torno do eixo y
Ache o volume do solido de revolução descrito quando a região dada da figura for rotacionada em torno da reta indicada.Uma equação da curva na figura é y 2 = x 3 O A C em torno da reta B C
Ache o volume do solido de revolução descrito quando a região dada da figura for rotacionada em torno da reta indicada.Uma equação da curva na figura é y 2 = x 3 O B C em torno da reta B C