Enunciado

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos

y = 1 + sec ⁡ x ,   y = 3 ;           e m   t o r n o   d e   y = 1

Passo 1

Falaeee, belezinha?? Bom galera, nessa questão queremos encontrar o volume do sólido gerado ao rotacionar a função apresentada em torno do eixo especificado.

Para isso, utilizaremos o conceito de Volume de Sólidos de revolução e as técnicas de integração para calcular o valor desse volume.

Após encontrar o volume, iremos esboçar graficamente o sólido e a região.

Lembrando que para um sólido que está entre x = a e x = b e possui área de seção transversal igual a A , seu volume V é dado por:

V = ∫ a b A x d x

Agora vamos aplicar!! 😉

Passo 2

Lembre-se que a área de uma coroa circular é dada por:

A = π R 2 - r 2

Onde R é o raio maior e r é o raio menor, que são dados em relação a y = 1 .

Assim, o raio maior é dado por:

R = 1 + sec ⁡ x - 1 = sec ⁡ x

E o raio menor é dado por:

r = 3 - 1 = 2

Igualando as duas curvas dadas, podemos encontrar os pontos de interseção:

1 + sec ⁡ x = 3 ∴

sec ⁡ x = 3 - 1 ∴

1 cos ⁡ x = 2 ∴

cos - 1 ⁡ x = 1 2 ∴

x = π 3

Passo 3

Utilizando a definição de volume de sólido de revolução, podemos escrever a seguinte integral:

V = ∫ - π / 3 π / 3 π 2 2 - sec ⁡ x 2 d x

Assim, o nosso sólido terá a seguinte secção transversal:

Perceba a simetria da figura. Com isso, a gente pode calcular a integral no intervalo 0 , π 3 e depois dobrar!!

Assim, resolvendo a integral, temos

V = ∫ 0 π 3 2 π 4 - sec 2 ⁡ x d x ∴

V = 2 π 4 x - tan ⁡ x 0 π 3 ∴

V = 2 π 4 π 3 - 3

Passo 4

Podemos esboçar graficamente a região e o sólido da seguinte maneira:

Resposta

V = 2 π 4 π 3 - 3

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