Enunciado

Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada por y = x , y = 0 e x = 9 gira em torno da reta x = 9 .

Passo 1

Bom galera, nosso volume é dado pela rotação da região sombreada:

Logo, nossa região é:

0 ≤ y ≤ 3

Passo 2

Belezinha, a nossa integral para o volume é:

V = π ∫ 0 3 9 - y 2 2   d y

= π ∫ 0 3 81 - 18 y 2 + y 4   d y

Passo 3

Por fim, resolvemos a integral:

V = π ∫ 0 3 81 - 18 y 2 + y 4   d y

= π 81 y - 6 y 3 + y 5 5 0 3

= π 243 - 162 + 243 5 = 648 π 5

Resposta

648 π 5

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Sabemos do exemplo 1 que a região R = x , y x ≥ 1 ,0 ≤ y ≤ 1 / x } tem área infinita. Mostre que pela rotação de R em torno do eixo x obtemos um sólido com volume finito.
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de todos os (x, y) tais que 1 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ x 3 - 1
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de todos os (x, y) tais que 1 ≤ x ≤ 4 e 1 ≤ y ≤ x
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de todos os (x, y) tais que 0 ≤ x ≤ 8 e 0 ≤ y ≤ x 3
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de todos os (x, y) tais que 1 ≤ x ≤ e e 0 ≤ y ≤ l n x