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Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas dadas gira em torno do eixo y .

x = y 2 ; x = y + 2

Passo 1

Bom galera, vamos começar encontrando a integral para o volume do sólido de revolução:

V = ∫ a b π g y 2   d y

E vamos ver onde as duas funções se interceptam:

x = y 2

x = y + 2

Juntando as duas:

y 2 = y + 2

→ y 2 - y - 2 = 0

y = 2   e - 1

Logo a nossa integral vai de - 1 até 2 .

Passo 2

Belezinha, agora vamos colocar os valores na integral:

V = π ∫ - 1 2 y + 2 2 - y 2 2   d y

→ V = π ∫ - 1 2 y 2 + 4 y + 4 - y 4   d y

Passo 3

Por fim, a gente resolve essa integral:

V = π ∫ - 1 2 y 2 + 4 y + 4 - y 4   d y

= π y 3 3 + 2 y 2 + 4 y - y 5 5 - 1 2 = 72 π 5

Resposta

72 π 5

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