Enunciado

Encontre o volume do sólido que resulta quando a região do Exercício 41 gira em torno da reta x = - 1 .

Passo 1

Bom galera, nosso volume é dado pela rotação da região sombreada em torno de y = - 1 :

Logo, nossa região é:

0 ≤ y ≤ 1

Passo 2

Belezinha, a nossa integral para o volume é:

V = π ∫ 0 1 1 + y   2 - 1 + y 2 2   d y

= π ∫ 0 1 1 + 2 y + y - 1 + 2 y 2 + y 4   d y

= π ∫ 0 1 ( 2 y - y 2 - y 4 )   d y

Passo 3

Por fim, resolvemos a integral:

V = π ∫ 0 1 ( 2 y - y 2 - y 4 )   d y

= π y 2 - y 3 3 - y 5 5 0 1

= π 1 - 1 3 - 1 5 - 0 = 7 π 15

Resposta

7 π 15

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