Enunciado

Seja R a região no primeiro quadrante delimitada por y = x 2 , y = 2 + x e x   =   0 . Em cada parte, monte, mas não calcule, uma integral ou uma soma de integrais que resolva o

problema.

(a) Encontre a área de R por integração em relação a x .

(b) Encontre a área de R por integração em relação a y .

(c) Encontre o volume do sólido gerado quando R gira em torno do eixo x por integração em relação a x .

(d) Encontre o volume do sólido gerado quando R gira em torno do eixo x por integração em relação a y .

(e) Encontre o volume do sólido gerado quando R gira em torno do eixo y por integração em relação a x .

(f) Encontre o volume do sólido gerado quando R gira em torno do eixo y por integração em relação a y .

(g) Encontre o volume do sólido gerado quando R gira em torno da reta y   =   - 3 por integração em relação a x .

(h) Encontre o volume do sólido gerado quando R gira em torno da reta x   =   5 por integração em relação a x .

Passo 1

Para resolvermos essas questões, vamos aplicar as formulas que já estudamos no capitulo 6!! Resumidamente, para a área usamos:

A = ∫ a b f x d x

Já para o volume:

V = ∫ a b 2 π x f ( x ) d x

Mas essas formulas podem mudar o referencial, usar x ou y .

Passo 2

Começando pelo item (a), a área em relação a x é:

A = ∫ 0 2 ( 2 + x - x 2 ) d x

Para o item (b), fazemos o mesmo, mas agora em relação a y :

A = ∫ 0 2 y d y + ∫ 2 4 [ y - ( y - 2 ) ]

Passo 3

Agora, começamos outro passo, calcular o volume. Para o item (c), queremos o o volume do sólido em torno do eixo x e em relação a x :

V = π ∫ 0 2 [ 2 + x 2 - x 4 ] d x

Para o item (d), queremos o o volume do sólido em torno do eixo x e em relação a y . É só isolarmos o y nas expressões:

V = 2 π ∫ 0 2 y y d y + 2 π ∫ 2 4 y [ y - ( y - 2 ) d y

Para o item (e) já vai mudando um pouquinho. Queremos agora o volume em torno do eixo y em relação a x . Para esse caso, nós usamos a formula descrita no passo 1. Logo,

V = 2 π ∫ 0 2 x ( 2 + x - x 2 ) d x

Para o item (f), queremos o volume do sólido em torno do eixo y , so que agora em relação a y :

V = π ∫ 0 2 y d y + ∫ 2 4 π ( y - y - 2 2 ) d y

Para o item (g), queremos o volume do sólido em torno da reta y = - 3 em relação a x .

V = 2 π ∫ 0 2 x + 3 + [ 2 + x - x 2 ] d x

V = 2 π ∫ 0 2 5 + 2 x - x 2 d x

Para o item (h), queremos o volume do sólido em torno da reta x = 5 em relação a x .

V = 2 π ∫ 0 2 x - 5 + [ 2 + x - x 2 ] d x

V = 2 π ∫ 0 2 - x 2 + 2 x - 3 d x

Prontinho!!

Resposta

(a) A = ∫ 0 2 ( 2 + x - x 2 ) d x

(b) A = ∫ 0 2 y d y + ∫ 2 4 [ y - ( y - 2 ) ]

(c) V = π ∫ 0 2 [ 2 + x 2 - x 4 ] d x

(d) V = 2 π ∫ 0 2 y y d y + 2 π ∫ 2 4 y [ y - ( y - 2 ) d y

(e) V = 2 π ∫ 0 2 x ( 2 + x - x 2 ) d x

(f) V = π ∫ 0 2 y d y + ∫ 2 4 π ( y - y - 2 2 ) d y

(g) V = 2 π ∫ 0 2 5 + 2 x - x 2 d x

(h) V = 2 π ∫ 0 2 - x 2 + 2 x - 3 d x

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