Enunciado

Encontre o volume do sólido que resulta quando a região sombreada gira em torno do eixo indicado.

Passo 1

Queremos o volume de um sólido obtido quando giramos a área em torno de y . Precisamos colocar essa região entre duas funções de y , f ( y ) limitando pela direita e g ( y ) limitando pela esquerda, e entre dois valores do eixo y , c e d . Aí é só usarmos a fórmulinha:

V = ∫ c d π f y 2 - g y 2 d y

Vamos começar!

Passo 2

Pela imagem vemos que a nossa região está entre uma curva e duas retas:

y = 2

x = 2

y = 1 x

Precisamos transformar essa curva numa função de y :

x = 1 y

Vemos que em relação ao eixo x , nossa região está entre a curva(pela esquerda) e a reta x = 2 (pela direita). Logo:

x = f y = 2

x = g y = 1 y

Conseguimos visualizar que um dos extremos de integração é d = y = 2 (a reta que limita a área por cima), mas o outro precisamos achar, fazendo a intercessão entre a curva y = 1 y e a reta x = 2 :

y = c = 1 2

Nossa integral fica então:

V = ∫ 1 2 2 π     2 2 - 1 y 2 d y

Passo 3

Agora é só calcular a integral:

V = ∫ 1 2 2 π     2 2 - 1 y 2 d y

V = ∫ 1 2 2 π     4 - y - 2 d y = π 4 y + 1 y | 2 1 / 2

V = 9 π 2

Resposta

V = 9 π 2

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