Enunciado

Suponha que v e w sejam funções contínuas em [ c , d ] e seja R a região delimitada pelas curvas x = v ( y ) e x = w ( y ) de y = c até y = d . Usando o método das arruelas, deduza e explique uma fórmula para o volume do sólido que resulta quando a região R é feita girar em torno da reta x = k . Enuncie e explique as hipóteses adicionais sobre v e w , se as houver, que são necessárias para a validade da fórmula obtida.

Passo 1

Bom galera, nós temos v e w que são funções continuas em [ c , d ] , e R é a região entre as curvas x = v ( y ) e x = w ( y ) de y = c para y = d .

Nós encontramos o volume de um sólido gerado pera revolução de R em torno da linha x = k .

Passo 2

Belezinha, a seção transversal do sólido perpendicular ao eixo x = k é uma arruela com raio externo w y - k e raio interno v y - k . A área da arruela é:

A y = π w y - k 2 - v y - k 2

E portanto o volume do sólido gerado pela revolução de R ao redor da linha x = k é:

V = ∫ c d π w y 0 k 2 - v y - k 2 d y

Resposta

V = ∫ c d π w y 0 k 2 - v y - k 2 d y

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Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas dadas gira em torno do eixo y . x = y 2 ; x = y + 2
Encontre o volume do sólido gerado quando a região delimitada por y = x , y = 6 e y = 0 gira em torno do eixo x . [Sugestão: Divida o sólido em duas partes.]
Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada por y = x , y = 0 e x = 9 gira em torno da reta x = 9 .
Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas dadas gira em torno do eixo y . y = 1 - x 2 x 2( x0 ) ; x = 0 ; y = 0 ; y = 2
Encontre o volume do sólido gerado quando a região delimitada por y = x + 1 , y = 2 x e y = 0 gira em torno do eixo x . [Sugestão: Divida o sólido em duas partes.]