Enunciado

Encontre o volume do sólido que resulta quando a região sombreada gira em torno do eixo indicado.

Passo 1

Queremos o volume de um sólido obtido quando giramos a área, entre uma reta e o eixo y , em torno de y . É só usarmos a fórmulinha:

V = ∫ c d π g y 2 d y

Vamos começar!

Passo 2

Precisamos transformar nossa reta em uma função de y .

x = g y

y = 3 - 2 x ∴ x = - y + 3 2

Conseguimos visualizar que um dos extremos de integração é c = y = 0 (a reta que limita a área por baixo), e o outro é d = y = 2 (reta que limita a região por cima).

Nossa integral fica então:

V = ∫ 0 2 π - y + 3 2 2 d y

Passo 3

Agora é só calcular a integral:

V = ∫ 0 2 π - y + 3 2 2 d y

Abrindo o produto notável:

V = π 4 ∫ 0 2 y 2 - 6 y + 9 d y = π 4 2 3 3 - 6 ⋅ 2 2 2 + 9 ⋅ 2 = π 4 8 3 - 12 + 18

V = 13 6 π

Resposta

V = 13 6 π

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