Enunciado

Encontre o volume do toro que resulta quando a região interior ao círculo de raio r com centro em um ponto h ,   0 ,   h > r , gira em torno do eixo y . [Sugestão: Use fórmulas apropriadas de Geometria plana para ajudar no cálculo da integral definida.]

Passo 1

Bom galera, o volume do toro é obtido pela arruela perpendicular ao eixo y , vamos começar separando a equação do circulo que temos na questão:

x - h 2 + y 2 = r 2

Assim a equação para a metade direita do circulo, que vamos chamar de w ( y ) é:

x = h + r 2 - y 2 1 / 2

Já a metade esquerda do circulo que vamos chamar v ( y ) é dada por:

x = h - r 2 - y 2 1 / 2

Passo 2

Belezinha, o volume vai ser dado pela integral da diferença das funções:

V = ∫ - r r π w y 2 - v y 2 d y

→ V = ∫ - r r π h + r 2 - y 2 1 / 2 2 - h - r 2 - y 2 1 / 2 2 d y

→ V = π ∫ - r r 4 h r 2 - y 2 1 / 2   d y

→ V = 4 h π ∫ - r r r 2 - y 2 1 / 2   d y

Passo 3

Show de bolinhas, agora pra a gente resolver essa integral a gente vai ter que fazer uma substituição trigonométrica, onde:

y = r sin ⁡ t

→ d y = r cos ⁡ t   d y

E assim nosso intervalo vai ser de: - π / 2 ≤ t ≤ π / 2 , assim ficamos com a integral:

V = 4 h π ∫ - r r r 2 - y 2 1 / 2   d y

→ V = 4 h π ∫ - π / 2 π / 2 r 2 - r 2 sin 2 ⁡ t 1 2 ( r cos ⁡ t )   d t

→ V = 4 h π ∫ - π 2 π 2 r cos 2 ⁡ t   d t

→ V = 4 h π 1 2 t + 1 4 sin ⁡ 2 t - π 2 π 2

→ V = 4 r 2 h π π 2 = 2 π 2 r 2 h

Resposta

V = 2 π 2 r 2 h

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