Enunciado

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20. Ache, por meio de um corte, o volume do tetraedro com três faces mutuamente perpendiculares e três arestas mutuamente perpendiculares, cujos comprimentos são 3, 4 e 7cm.

Passo 1

Vamos entender como esse tetraedro está disposto, fazer o corte e depois usar a fórmula do volume aplicado pro cone.

Passo 2

O tetraedro será como na figura, o corte será o triângulo perpendicular ao eixo x , e fica a x unidades da origem. Sendo que o lado de 3cm fica sobre o eixo x , o lado de 4cm sobre o eixo z e o lado de 7cm sobre o eixo y .

Esse triângulo do corte tem altura b e largura c . Por semelhança de triângulos com as face do tetraedro, temos b 4 = x 4 e c 7 = x 3

Isolando b e c teremos a altura e a base, que serão 4 x 3 e 7 x 3 .

Passo 3

Pela definição 6.1.1 temos

V = lim ∆ → 0 ⁡ ∑ i = 1 n A w i ∆ i x = ∫ a b A x d x

No nosso caso, como vimos antes, a área do triângulo será b c / 2 ( b a s e . a l t u r a 2 ) ...

A x = 4 x 3 . 7 x 3 = 14 x 2 9 (lembrando que x vai de 0 até 3)

V = lim ∆ → 0 ⁡ ∑ i = 1 n A ( w i ) ∆ i x = ∫ 0 3 14 x 2 9 d x

V = ∫ 0 3 14 x 2 9 d x

Passo 4

Agora, vamos resolver essa integral:

∫ 0 3 14 x 2 9 d x = 14 x 3 27 0 3 = ( 14 ( 3 ) 3 27 ) = 14

Prontinho, esse é o volume em c m 3    

Resposta

V = 14   c m 3

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