Enunciado

Se A = ([[3,-,2,i,1,+,i],[2,-,i,-,2,+,3,i]]) , encontre

(a) A^T

(b) overset(-)(A)

(c) A^*

Passo 1

Para começar vamos relembrar algumas propriedades de matrizes:

Imagine duas matrizes A = ([[a_11,a_12,+,c,i],[a_21,a_22,+,d,i]]) e B = ([[b_11,b_12],[b_21,b_22]])

Uma das propriedades é a transposição de uma matriz. Quando se transpõe uma matriz o que se faz é trocar as linhas pelas colunas ou seja:

A = ([[a_11,a_12,+,c,i],[a_21,a_22,+,d,i]])

A^T = ([[a_11,a_21],[a_12,+,c,i,a_22,+,d,i]])

Se você verificar a primeira linha da matriz A era a_11 e a_12 e agora é a primeira coluna da matriz transposta A^T . O mesmo vale para uma matriz de n linhas. Tudo bem???

Outra propriedade é a matriz conjugada. Em uma matriz conjugada overset(-)(A) o que fazemos é trocar os coeficientes complexos da matriz pelo seu conjugado, ou seja:

A = ([[a_11,a_12,+,c,i],[a_21,a_22,+,d,i]])

overset(-)(A) = ([[a_11,a_12,-,c,i],[a_21,a_22,-,d,i]])

Devemos alterar o sinal da parte imaginária do coeficiente da matriz. Entendeu tudo??? Legal.

A próxima propriedade que vamos relembrar é a matriz adjunta. A matriz adjunta é denotada por A^* e é a matriz transposta da matriz conjugada, ou seja, primeiro aplicamos a conjugação:

A = ([[a_11,a_12,+,c,i],[a_21,a_22,+,d,i]])

overset(-)(A) = ([[a_11,a_12,-,c,i],[a_21,a_22,-,d,i]])

E depois fazemos a transposição da matriz conjugada:

A^* = (overset(-)(A))^T = ([[a_11,a_21],[a_12,-,c,i,a_22,-,d,i]])

Agora que relembramos estes pontos vamos aplicá-los para resolver os itens propostos. Vamos lá?

Passo 2

Temos uma matriz A = ([[3,-,2,i,1,+,i],[2,-,i,-,2,+,3,i]]) e o item (a) nos pede para encontrar a matriz transposta:

A = ([[3,-,2,i,1,+,i],[2,-,i,-,2,+,3,i]])

A^T = ([[3,-,2,i,2,-,i],[1,+,i,-,2,+,3,i]])

Nosso próximo passo será obter a matriz conjugada de A :

A = ([[3,-,2,i,1,+,i],[2,-,i,-,2,+,3,i]])

overset(-)(A) = ([[3,+,2,i,1,-,i],[2,+,i,-,2,-,3,i]])

Passo 3

Por fim, o item (c) nos pede para obter a matriz adjunta de A . Como já relembramos para obter a matriz adjunta A^* devemos primeiro obter a matriz conjugada overset(-)(A) e, em seguida, aplicar a transposição. Então:

A = ([[3,-,2,i,1,+,i],[2,-,i,-,2,+,3,i]])

overset(-)(A) = ([[3,+,2,i,1,-,i],[2,+,i,-,2,-,3,i]])

Aplicando a matriz transposição da matriz overset(-)(A) :

A^* = (overset(-)(A))^T =

([[3,+,2,i,1,-,i],[2,+,i,-,2,-,3,i]])^T =

A^* = ([[3,+,2,i,2,+,i],[1,-,i,-,2,-,3,i]])

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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