Encontre dy / dx :

y = cos(ln(x))

Passo 1

Analisando a função, vemos que tem uma função composta. Onde temos uma função dentro da outra e para isso usaremos a Regra da Cadeira.

Podemos separar a função em f ( x ) e g ( x ) , e a derivada terá a seguinte aparência:

f g x '

y = c o s ⁡ ( ln ⁡ x )

Onde chamamos de f ( x ) e g ( x ) :

y = f x = c o s ⁡ ( g x )

u = g x = l n ⁡ ( x )

Aplicando na Regra:

d y d x = d y d u . d u d x

Para resolver esse problema, precisaremos primeiro resolver cada derivada separadamente e depois aplicamos na fórmula da Regra da Cadeia.

Passo 2

Para começar a calcular vamos nos atentar aos termos, onde:

f u = c o s ⁡ ( u )

u = l n ⁡ ( x )

Derivando primeiro a função f em relação a u :

d y d u = - s e n ( u )

E derivando u em relação a x :

d u d x = 1 x

Agora, é só aplicar os valores obtidos na Regra da Cadeia. Bora lá?

Passo 3

Vamos retomar os passos e aplicar na regra da Cadeia, onde:

Agora, só aplicarmos os termos calculados na Regra:

d y d x = d y d u . d u d x

d y d x = 1 x . ( - s e n u )

Substituindo u em d y d u :

d y d x = 1 x . ( - s e n ln ⁡ x )

Reorgonizando a fórmula, temos que:

d y d x = - s e n ln ⁡ x x

Resposta

d y d x = - s e n ln ⁡ x x

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