Enunciado

Use o método de Newton para encontrar todas as raízes da equação com precisão de seis casas decimais.

e x = 3 - 2 x

Passo 1

Vamos lá aplicar o método de Newton, para isso vamos usar sua fórmula:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Primeiro temos que f x = e x + 2 x - 3

Vamos agora precisar de f ' x , vamos calcular então!!

Passo 2

Para achar a derivada de f vamos usar três regras de derivação, o da função constante, da função exponencial e do polinômio:

c ' = 0

e f x ' = e f x . f ' ( x )

x n ' = n x n - 1

Vamos calcular f ' x :

f ' x = e x + 2 x - 3 ' = e x + 2 x 1 - 1 - 0 = e x + 2

Passo 3

Pronto, agora que temos f ' x é só jogar na fórmula de Newton:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n → x n + 1 = x n - e x n + 2 x n - 3 e x n + 2

Vamos agora analisar qual valor usar para x 1 , pelo gráfico abaixo parace te ponto de intersecção em x = 0,6 , pronto, agora é só substituir, vamos lá então:

x 1 + 1 = x 2 = x 1 - e x 1 + 2 x 1 - 3 e x 1 + 2 = 0,6 - e 0,6 + 2 . 0,6 - 3 e 0,6 + 2 ≈ 0,594213

Como queremos uma precisão de seis casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

x 2 + 1 = x 3 = x 2 - e x 2 + 2 x 2 - 3 e x 2 + 2 = 0,594213 - e 0,594213 + 2 . 0,594213 - 3 e 0,594213 + 2 ≈ 0,594205

Mais uma vez, agora com x 4 :

x 3 + 1 = x 4 = x 3 - e x 3 + 2 x 3 - 3 e x 3 + 2 = 0,594205 - e 0,594205 + 2 . 0,594205 - 3 e 0,594205 + 2 ≈ 0,594205

Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é 0,594205 .

Resposta

A raiz da equação é 0,594205 .

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Use o método de Newton para encontrar todas as raízes da equação com precisão de seis casas decimais. x - 2 2 = ln ⁡ x
Explique por que a função logarítmica natural y = ln ⁡ x é usada mais vezes no cálculo do que as outras funções logarítmicas y = log a ⁡ x .
Mostre que a função densidade de probabilidade de uma variável aleatória com a distribuição normal tem pontos de inflexão em x = μ ± σ .
Calcule g ' x g x = log 5 ⁡ x v
Calcule g ' x g x = log π ⁡ x