Enunciado

Enfocando conceitos

Esboce o gráfico de uma função que é injetora em - ∞ , + ∞ embora não crescente em - ∞ , + ∞ e não decrescente em - ∞ , + ∞ .

Passo 1

Eita, complicou! Antes de mais nada, vamos lembrar que uma função injetora é uma função que cada f x está unicamente associado a um único x . Portanto a função abaixo não é injetora:

Mas a abaixo é:

E olha só, a função acima é estritamente crescente em - ∞ , + ∞ . Já sabemos que ela não serve porque não é isso que o enunciado quer, o que enrola um pouco nossa vida hehehe mas só um pouco, porque toda função estritamente crescente ou decrescente é automaticamente injetora. Então se pudesse, já teríamos matado a questão. O que fazer agora?

Passo 2

Bem galera, se não posso fazer funções estritamente crescentes e nem decrescentes porque a questão não deixou e também não posso fazer funções que cresçam pra depois de crescer ou vice versa porque isso tornaria elas injetoras, o que fazer? Bem, uma boa ideia é pegar uma função que tenda a um valor para pelo menos um dos infinitos!

E olha só! Nesse exemplo aí ainda fizemos a função tender a valores distintos pros dois infinitos. Se x é infinitamente grande e negativo, a função tá cada vez mais perto de - 1 . Se x é infinitamente grande e positivo, a função tá cada vez mais perto de 1 . Se a função nunca assume valores maiores que 1 e nem menores que - 1 , então ela não é estritamente crescente! E como podemos ver, não há nenhuma reta horizontal que corte o gráfico duas vezes! Só por curiosidade, olha só exemplos em que um só dos infinitos está tendendo a ± 1 :

Resposta

Para fazer uma função injetora que não é estritamente crescente nem decrescente podemos escolher uma função estritamente (de)crescente e transformar a curva de pelo menos um dos infinitos em uma curva que tende a um valor. No exemplo acima, isso foi feito com os dois infinitos. Outros exemplos:

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Ache o valor exato da quantidade dada.(a) tan ⁡ arccot ⁡ - 1 ; (b) cot ⁡ arctan ⁡ - 1
Ache o valor exato da quantidade dada. cos ⁡ a r c s e n 2 3 + 2a r c s e n - 1 3
Ache o valor exato da quantidade dada. s e na r c s e n 2 3 + arccos ⁡ 1 3
Ache o valor exato da quantidade dada. tan ⁡ arctan ⁡ 3 4 - a r c s e n 1 2
Prove: 2 arctan ⁡ 1 3 - arctan ⁡ - 1 7 = π 4