Enunciado

Em cada parte, determine o valor exato sem utilizar recursos computacionais

a ) arc sen ⁡ - 1

b ) arc  tg ⁡ 1

c ) arc sen ⁡ 3 2

d ) arc  cos ⁡ 1 2

e ) arc  sec ⁡ - 2

Passo 1

Fala povo, tudo certo? Ó só, pra gente matar essa questão bem rapidinho, vamos pensar o seguinte, como o enunciado fala tudo sobre arco de funções trigonométricas, se a gente lembrar por exemplo que:

arc sen ⁡ x = y

Significa que y é o arco cujo seno é x , podemos reescrever todas as letras do enunciado:

a ) arc sen ⁡ - 1 = y

b ) arc tg ⁡ 1 = y

c ) arc sen ⁡ 3 2 = y

d ) arc cos ⁡ 1 2 = y

e ) arc sec ⁡ - 2 = y

Para:

a ) sen ⁡ y = - 1

b ) tg ⁡ y = 1

c ) sen ⁡ y = 3 2

d ) cos ⁡ y = 1 2

e ) sec ⁡ y = - 2

Basicamente o que fizemos foi usar a função inversa das funções arco. Como as funções arco já são as inversas trigonométricas, voltamos pra elas. Bacana, não? Nosso objetivo então vai ser achar esses valores de y ! Pra isso, vai nos ajudar muito olhar o círculo trigonométrico:

E essas relações pra ângulos clássicos dentro desse círculo:

Uma coisa importante aqui de notar é que essa tabela só é importante de ter na cachola pros ângulos 30 0 ,   45 0   e   60 0 . Todos os outros a gente tira os resultados olhando o que acontece com o seno e o cosseno quando α gira no sentido anti-horário. Por exemplo, com α = 0 0 , olhando pelo círculo, vemos que o cosseno coincide com a hipotenusa do triângulo verde e o seno some.

Passo 2

Letra a) sen ⁡ y = - 1

Show galera, analisando e entendendo a tabelinha, a partir de agora é só uma questão de consultar ela pra responder. Olhando bem, vemos que:

sin ⁡ 3 π 2 = - 1

Então a resposta da letra a vai ser 3 π 2 .

Letra b) tg ⁡ y = 1

De novo, pela tabela, temos:

tg ⁡ π 4 = 1

Portanto a resposta da letra b vai ser π 4 .

Letra c) sen ⁡ y = 3 2

Pela tabela:

sen ⁡ π 3 = 3 2

Assim, a resposta da letra c vai ser π 3 .

Letra d) cos ⁡ y = 1 2

Pela tabela:

cos ⁡ π 3 = 1 2

Assim, a resposta da letra d vai ser π 3 .

Letra e) sec ⁡ y = - 2

Pra fechar, sendo:

sec ⁡ y = 1 cos ⁡ y = - 2

Temos então que:

cos ⁡ y = - 1 2

Pela tabela:

cos ⁡ π 3 = 1 2

O que não é exatamente a mesma coisa, mas se analisarmos bem o círculo trigonométrico, vemos que esses dois ângulos tem o mesmo valor de cosseno em módulo:

Sendo assim:

cos ⁡ 120 0 = - 1 2

cos ⁡ 18 0 0 - 60 0 = - 1 2

cos ⁡ π - π 3 = - 1 2

cos ⁡ 3 π - π 3 = - 1 2

cos ⁡ 2 π 3 = - 1 2

Então a resposta da letra e vai ser 2 π 3 .

Resposta

a )   3 π 2 b )   π 4 c )   π 3 d )   π 3 e )   2 π 3

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