Encontre a fórmula para f^(-1)(x)

14) f(x) = 5 / (x^2 + 1), x >= 0

Passo 1

Toda vez que formos inverter uma função galera, vamos seguir três passos, ok? São eles:

y = f x

f y = x

f - 1 x = y

Por extenso, temos:

  • Passo 1: Escrever a função como y igual a uma função de x
  • Passo 2: Isolar x de forma que possamos escrever ele como uma função de y
  • Passo 3 : Trocar x , y de lugar e chamar a nova função de x encontrada da inversa f - 1 x

Bora lá?

Passo 2

Para:

y = 5 x 2 + 1

Se multiplicarmos os dois lados por x 2 + 1 , achamos:

y ∙ x 2 + 1 = 5 x 2 + 1 ∙ x 2 + 1

y ∙ x 2 + 1 = 5

E dividindo os dois lados por y , temos:

y ∙ x 2 + 1 y = 5 y

x 2 + 1 = 5 y

Subtraindo 1 dos dois lados, a equação acima se torna:

x 2 + 1 - 1 = 5 y - 1

x 2 = 5 y - 1

E tomando a raiz quadrada, encontramos:

x = ± 5 y - 1

Como o enunciado disse que x ≥ 0 , a gente exclui a parte negativa desse resultado:

x = 5 y - 1

E ta na mão, trocando x , y de lugar nossa função inversa aparece!

y = 5 x - 1

f - 1 x = 5 x - 1

Resposta

f - 1 x = 5 x - 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados