Enunciado

Encontre a fórmula para f^(- 1) (x)

14 ) f (x) = (5)/(x^2 + 1) , x >= 0

Passo 1

Toda vez que formos inverter uma função galera, vamos seguir três passos, ok? São eles:

y = f (x)

f (y) = x

f^(- 1) (x) = y

Por extenso, temos:

  • Passo 1: Escrever a função como y igual a uma função de x
  • Passo 2: Isolar x de forma que possamos escrever ele como uma função de y
  • Passo 3 : Trocar x , y de lugar e chamar a nova função de x encontrada da inversa f^(- 1) (x)

Bora lá?

Passo 2

Para:

y = (5)/(x^2 + 1)

Se multiplicarmos os dois lados por (x^2 + 1) , achamos:

y * (x^2 + 1) = (5)/(x^2 + 1) * (x^2 + 1)

y * (x^2 + 1) = 5

E dividindo os dois lados por y , temos:

(y * (x^2 + 1))/(y) = (5)/(y)

x^2 + 1 = (5)/(y)

Subtraindo 1 dos dois lados, a equação acima se torna:

x^2 + 1 - 1 = (5)/(y) - 1

x^2 = (5)/(y) - 1

E tomando a raiz quadrada, encontramos:

x = +- sqrt((5)/(y) - 1)

Como o enunciado disse que x >= 0 , a gente exclui a parte negativa desse resultado:

x = sqrt((5)/(y) - 1)

E ta na mão, trocando x , y de lugar nossa função inversa aparece!

y = sqrt((5)/(x) - 1)

f^(- 1) (x) = sqrt((5)/(x) - 1)

Resposta

f^(- 1) (x) = sqrt((5)/(x) - 1)

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