Enunciado

Engenheiros querem construir uma estrada reta e nivelada, com 600   p é s de comprimento e 75   p é s de largura, fazendo um corte através de um morro (veja a figura a seguir). As alturas do morro acima da linha central da estrada proposta, obtidas de vários pontos de um mapa topográfico da região, estão na tabela que segue. Para estimar o custo da construção, eles precisam conhecer o volume de terra que deve ser removido. Aproxime esse volume, arredondando ao pé cúbico mais próximo. [Sugestão: Primeiramente, estabeleça uma integral para a área da seção transversal do corte ao longo da linha central da estrada; depois, suponha que a altura do morro não varie entre a linha central e as margens da estrada.]

Passo 1

E aíííí, galerinha! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Vamos resolver da maneira mais trivial: apenas calculando a integral aplicando a fórmula da regra citada.

Lembrando que a fórmula da aproximação é dada por:

S n = 1 3 b - a n y 0 + 4 y 1 + y 3 + … + y n - 1 + 2 y 2 + y 4 + … + y n - 2 + y n

Para esse caso temos os seguintes valores:

n = 6 ,   a = 0 ,   b = 6 00

Além disso, o método da aproximação é uma representação de uma integral como mostramos a seguir:

S n ≈ ∫ a b f x d x

Porém, como não é fácil para nós calcularmos o volume dessa região da estrada de forma direta, vamos dividir em duas partes como sugerido pelo enunciado: estabelecer uma integral para calcular a área da seção transversal do corte ao longo da linha central, ou seja:

A s e ç ã o = ∫ a b f x d x

Que possa ser aproximada pela regra de Simpson.

Neste caso, f x será a variável altura h da estrada, pois a seção transversal do corte tem uma área de A = h ∙ x .

E, em seguida, supondo que a altura do morro não se altere, vamos multiplicar essa área pela largura da estrada a fim de encontrar um volume aproximado ao desejado.

Passo 2

Logo, com os dados da tabela, podemos calcular a aproximação da área por:

A s e ç ã o ≈ S 6 = 1 3 600 - 0 6 0 + 4 7 + 2 16 + 4 24 + 2 25 + 4 16 + 0

Ou seja:

A s e ç ã o ≈ S 6 = 9000   p é s 2

Passo 3

Então, o volume de terra que será removido pode ser dado por:

V = A s e ç ã o × l a r g u r a

Dessa forma:;

V = 9000 × 75

Portanto:

V = 675000   p é s 3

Resposta

675000   p é s 3

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